Номер 3.123, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.123. Найдите значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:

а) $y = (x - 1)^2 - 9$;

б) $y = (x + 9)(3 - 2x)$;

в) $y = x^2 - 4$;

г) $y = x(5 - x)$.

а) Решим неравенство для функции $y = (x - 1)^2 - 9$:$$(x - 1)^2 - 9 > 0$$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$$((x - 1) - 3)((x - 1) + 3) > 0$$$$(x - 4)(x + 2) > 0$$

Корни соответствующего уравнения $(x - 4)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, функция принимает положительные значения при значениях аргумента, находящихся вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty)$.

б) Решим неравенство для функции $y = (x + 9)(3 - 2x)$:$$(x + 9)(3 - 2x) > 0$$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x + 9)(3 - 2x) = 0$:$$x + 9 = 0 \implies x_1 = -9$$$$3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2}$$

Графиком функции является парабола. Раскрыв скобки, получим $y = -2x^2 - 15x + 27$. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (-2), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция принимает положительные значения между корнями.

Ответ: $x \in (-9; 1\frac{1}{2})$.

в) Решим неравенство для функции $y = x^2 - 4$:$$x^2 - 4 > 0$$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:$$(x - 2)(x + 2) > 0$$

Корни уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, функция положительна вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

г) Решим неравенство для функции $y = x(5 - x)$:$$x(5 - x) > 0$$

Корни уравнения $x(5 - x) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции является парабола $y = -x^2 + 5x$. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (-1). Следовательно, функция принимает положительные значения между корнями.

Ответ: $x \in (0; 5)$.