Номер 3.120, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.120. Дана функция $f(x) = (x - 4)^2 + 5$. Не выполняя вычислений, сравните:

а) $f(5)$ и $f(6);$

б) $f(2)$ и $f(3);$

в) $f(-2,4)$ и $f(3,75).$

Для сравнения значений функции $f(x) = (x - 4)^2 + 5$ без выполнения вычислений, необходимо проанализировать её свойства.

Данная функция является квадратичной. Её график — это парабола. Поскольку коэффициент перед выражением в скобках равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы находится в точке, где выражение $(x - 4)$ равно нулю, то есть при $x = 4$. В этой точке функция достигает своего наименьшего значения, равного 5.

Исходя из свойств параболы с ветвями вверх:

• На промежутке $(-\infty; 4]$ функция является убывающей (то есть, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$).
• На промежутке $[4; +\infty)$ функция является возрастающей (то есть, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$).

Другой способ сравнения основан на том, что значение функции тем больше, чем дальше аргумент $x$ находится от абсциссы вершины $x=4$. Расстояние от $x$ до 4 равно $|x - 4|$.

а) f(5) и f(6);
Аргументы $x=5$ и $x=6$ принадлежат промежутку возрастания функции $[4; +\infty)$, так как $4 < 5 < 6$. На этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Поскольку $6 > 5$, то $f(6) > f(5)$.
Ответ: $f(5) < f(6)$.

б) f(2) и f(3);
Аргументы $x=2$ и $x=3$ принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 4]$, так как $2 < 3 < 4$. На этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Поскольку $3 > 2$, то $f(3) < f(2)$.
Также можно сравнить расстояния от точек до вершины $x=4$: $|2 - 4| = 2$ и $|3 - 4| = 1$. Так как точка $x=2$ дальше от вершины, значение функции в ней будет больше.
Ответ: $f(2) > f(3)$.

в) f(-2,4) и f(3,75).
Аргументы $x=-2,4$ и $x=3,75$ принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 4]$, так как $-2,4 < 3,75 < 4$. На этом промежутке большему значению аргумента ($3,75$) соответствует меньшее значение функции.
Поскольку $3,75 > -2,4$, то $f(3,75) < f(-2,4)$.
Сравним расстояния от точек до вершины $x=4$:
Для $x=-2,4$ расстояние равно $|-2,4 - 4| = |-6,4| = 6,4$.
Для $x=3,75$ расстояние равно $|3,75 - 4| = |-0,25| = 0,25$.
Так как $6,4 > 0,25$, точка $x=-2,4$ находится дальше от вершины, чем $x=3,75$. Следовательно, значение функции в точке $x=-2,4$ больше.
Ответ: $f(-2,4) > f(3,75)$.