Номер 3.114, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.114. Из данных квадратичных функций выберите функцию, которая убывает на промежутке $(-\infty; 7]$:

а) $f(x) = (x - 2)^2 - 7;$

б) $f(x) = (x - 7)^2 + 2;$

в) $f(x) = -(x - 7)^2 + 2;$

г) $f(x) = (x + 7)^2 - 3.$

Для того чтобы квадратичная функция убывала на промежутке $(-\infty; 7]$, её график (парабола) должен удовлетворять определённым условиям. Рассмотрим общий вид квадратичной функции, представленной в форме с выделенным квадратом: $f(x) = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

• Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. В этом случае функция убывает на промежутке $(-\infty; h]$ и возрастает на промежутке $[h; +\infty)$.
• Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае функция возрастает на промежутке $(-\infty; h]$ и убывает на промежутке $[h; +\infty)$.

Из условия задачи следует, что нам нужна функция, убывающая на $(-\infty; 7]$. Это соответствует случаю, когда ветви параболы направлены вверх ($a > 0$) и абсцисса её вершины $h = 7$.

Теперь проанализируем каждую из предложенных функций:

Для этой функции коэффициент $a = 1 > 0$ (ветви направлены вверх), а абсцисса вершины $h = 2$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$. Этот промежуток не совпадает с требуемым.
Ответ: не подходит.

Для этой функции коэффициент $a = 1 > 0$ (ветви направлены вверх), а абсцисса вершины $h = 7$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 7]$. Этот промежуток совпадает с требуемым.
Ответ: подходит.

Для этой функции коэффициент $a = -1 < 0$ (ветви направлены вниз), а абсцисса вершины $h = 7$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[7; +\infty)$. Этот промежуток не совпадает с требуемым.
Ответ: не подходит.

Данную функцию можно представить в виде $f(x) = (x - (-7))^2 - 3$. Коэффициент $a = 1 > 0$ (ветви направлены вверх), а абсцисса вершины $h = -7$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -7]$. Этот промежуток не совпадает с требуемым.
Ответ: не подходит.