Номер 3.112, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.112. При каком значении числа $a$ график квадратичной функции $y = ax^2 - 4x + 5$ касается оси абсцисс?

График квадратичной функции касается оси абсцисс (оси Ox) тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Условием наличия одного корня у квадратного уравнения является равенство его дискриминанта нулю.

Дана квадратичная функция:

$y = ax^2 - 4x + 5$

Точки пересечения или касания графика с осью абсцисс находятся при условии $y = 0$. Таким образом, мы получаем квадратное уравнение:

$ax^2 - 4x + 5 = 0$

Для того чтобы функция была квадратичной, необходимо, чтобы старший коэффициент $a$ не был равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Вычислим дискриминант ($D$) этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты равны:

• $a = a$
• $b = -4$
• $c = 5$

Подставляем значения коэффициентов в формулу дискриминанта:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot 5$

$D = 16 - 20a$

Приравниваем дискриминант к нулю, чтобы найти значение $a$, при котором уравнение имеет один корень:

$16 - 20a = 0$

Решаем полученное линейное уравнение относительно $a$:

$20a = 16$

$a = \frac{16}{20}$

Сокращаем дробь:

$a = \frac{4}{5}$

Данное значение $a = \frac{4}{5}$ не равно нулю, поэтому условие $a \neq 0$ выполняется, и функция действительно является квадратичной.

Таким образом, график квадратичной функции $y = ax^2 - 4x + 5$ касается оси абсцисс при $a = \frac{4}{5}$. Ответ: $\frac{4}{5}$