Номер 3.138, страница 195 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.138. На рисунке 83 изображен график функции $y = x^2 - x - 12$.

Решите неравенство:

а) $x^2 - x - 12 > 0;$

б) $x^2 - x - 12 \ge 0;$

в) $x^2 - x - 12 < 0;$

г) $x^2 - x - 12 \le 0.$

Рис. 83

Для решения данных неравенств воспользуемся предоставленным графиком функции $y = x^2 - x - 12$. Решение каждого неравенства заключается в определении интервалов по оси $x$, на которых график функции (парабола) удовлетворяет соответствующему условию (находится выше, ниже или на оси абсцисс).

Сначала найдем нули функции, то есть точки пересечения графика с осью $Ox$. Для этого нужно решить уравнение $x^2 - x - 12 = 0$. Из графика видно, что это точки $x = -3$ и $x = 4$.

Проверим это аналитически, решив квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$

Корни уравнения $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$ верны. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Теперь решим каждое неравенство, анализируя положение графика относительно оси $Ox$.

а) $x^2 - x - 12 > 0$
Ищем значения $x$, при которых $y > 0$, то есть график функции находится выше оси $Ox$. Согласно графику, это происходит левее точки $x = -3$ и правее точки $x = 4$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.

б) $x^2 - x - 12 \ge 0$
Ищем значения $x$, при которых $y \ge 0$, то есть график функции находится выше или на оси $Ox$. Это те же интервалы, что и в пункте а), но включая сами точки пересечения ($x=-3$ и $x=4$).
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

в) $x^2 - x - 12 < 0$
Ищем значения $x$, при которых $y < 0$, то есть график функции находится ниже оси $Ox$. Согласно графику, это происходит на интервале между точками пересечения.
Ответ: $x \in (-3; 4)$.

г) $x^2 - x - 12 \le 0$
Ищем значения $x$, при которых $y \le 0$, то есть график функции находится ниже или на оси $Ox$. Это тот же интервал, что и в пункте в), но включая сами точки пересечения.
Ответ: $x \in [-3; 4]$.