Номер 3.141, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.141. Решите квадратное неравенство:

а) $-3x^2 + 5x + 8 \ge 0;$

б) $-x^2 + 6x - 8 < 0;$

в) $-5x^2 - 6x + 8 \ge 0;$

г) $-x^2 - 6x - 9 < 0.$

а) $-3x^2+5x+8 \ge 0$
Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-3x^2+5x+8=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-3)(8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2(-3)} = \frac{-16}{-6} = \frac{8}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2(-3)} = \frac{6}{-6} = -1$
Графиком функции $y = -3x^2+5x+8$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент $a = -3 < 0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[-1; \frac{8}{3}]$.
Ответ: $x \in [-1; \mathbf{2}\frac{2}{3}]$.

б) $-x^2+6x-8 < 0$
Найдем корни уравнения $-x^2+6x-8=0$. Умножим обе части на -1:
$x^2-6x+8=0$
По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Следовательно, корни:
$x_1=2$, $x_2=4$
Графиком функции $y = -x^2+6x-8$ является парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -1 < 0$). Неравенство $< 0$ выполняется на промежутках вне корней.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.

в) $-5x^2-6x+8 \ge 0$
Найдем корни уравнения $-5x^2-6x+8=0$. Умножим обе части на -1:
$5x^2+6x-8=0$
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(5)(-8) = 36 + 160 = 196 = 14^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 14}{2(5)} = \frac{-20}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 14}{2(5)} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Графиком функции $y = -5x^2-6x+8$ является парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -5 < 0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-2; \frac{4}{5}]$.

г) $-x^2-6x-9 < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^2+6x+9 > 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:
$(x+3)^2 > 0$
Квадрат любого выражения, отличного от нуля, всегда положителен. Выражение $(x+3)^2$ равно нулю при $x=-3$. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=-3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.