Номер 3.146, страница 196 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.146. Найдите все целые решения неравенства:

а) $x^2 + 3x \le 0;$

б) $5x^2 + x - 4 \le 0;$

в) $13 - x^2 > 0;$

г) $3 + x - 0,25x^2 > 0.$

а) $x^2 + 3x \le 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Неравенство $x^2 + 3x \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-3, 0]$.

Целые решения, принадлежащие этому промежутку: -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

б) $5x^2 + x - 4 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 + x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Графиком функции $y = 5x^2 + x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $5x^2 + x - 4 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая корни.

Решение неравенства: $x \in [-1, \frac{4}{5}]$.

Целые решения, принадлежащие этому промежутку: -1, 0.

Ответ: -1, 0.

в) $13 - x^2 > 0$

Найдем корни уравнения $13 - x^2 = 0$.

$x^2 = 13$

Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{13}$ и $x_2 = \sqrt{13}$.

Графиком функции $y = 13 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1 < 0$). Неравенство $13 - x^2 > 0$ выполняется на промежутке между корнями, не включая сами корни.

Решение неравенства: $x \in (-\sqrt{13}, \sqrt{13})$.

Чтобы найти целые решения, оценим значение $\sqrt{13}$. Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{13} < 4$.

Таким образом, ищем целые числа в интервале примерно от -3.6 до 3.6. Это числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

г) $3 + x - 0.25x^2 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -4, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-4(3 + x - 0.25x^2) < -4 \cdot 0$

$-12 - 4x + x^2 < 0$

$x^2 - 4x - 12 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно -12. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 4x - 12 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-2, 6)$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.