Номер 3.150, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.150. Найдите значения переменной, при которых значения трехчлена:

а) $4x^2 + 3x + 5$ не превосходят 6;

б) $\frac{1}{3}x^2 - x + 8$ больше 8;

в) $-3x^2 + 8x + 6$ не меньше $-\frac{2}{3}$.

а) Условие "не превосходят 6" означает, что значения трехчлена должны быть меньше или равны 6. Составим и решим неравенство:

$$4x^2 + 3x + 5 \le 6$$

Перенесем 6 в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$4x^2 + 3x - 1 \le 0$$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $4x^2 + 3x - 1 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
Найдем корни:$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{8} = -1$$$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$Графиком функции $y = 4x^2 + 3x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 4, что больше 0). Значения функции не положительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-1, \frac{1}{4}]$.

б) Условие "больше 8" означает, что значения трехчлена должны быть строго больше 8. Составим и решим неравенство:

$$\frac{1}{3}x^2 - x + 8 > 8$$

Перенесем 8 в левую часть:

$$\frac{1}{3}x^2 - x > 0$$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби (знак неравенства не меняется):

$$x^2 - 3x > 0$$

Разложим левую часть на множители:

$$x(x - 3) > 0$$

Корнями уравнения $x(x - 3) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Значения функции положительны ($y > 0$) при $x$ за пределами отрезка между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

в) Условие "не меньше $-\frac{2}{3}$" означает, что значения трехчлена должны быть больше или равны $-\frac{2}{3}$. Составим и решим неравенство:

$$-3x^2 + 8x + 6 \ge -\frac{2}{3}$$

Перенесем все члены в левую часть:

$$-3x^2 + 8x + 6 + \frac{2}{3} \ge 0$$

$$-3x^2 + 8x + \frac{18}{3} + \frac{2}{3} \ge 0$$

$$-3x^2 + 8x + \frac{20}{3} \ge 0$$

Умножим обе части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$$9x^2 - 24x - 20 \le 0$$

Найдем корни уравнения $9x^2 - 24x - 20 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 576 + 720 = 1296 = 36^2$.
Найдем корни:$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 36}{18} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$$$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 36}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$$Графиком функции $y = 9x^2 - 24x - 20$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 9, что больше 0). Значения функции не положительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Решением является промежуток $x \in [-\frac{2}{3}, \frac{10}{3}]$. Преобразуем неправильную дробь $\frac{10}{3}$ в смешанное число: $\frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}, \mathbf{3} \frac{1}{3}]$.