Номер 3.152, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.152. Найдите значения переменной, при которых имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{2 + x - x^2}$;

б) $\sqrt{8x^2 - x}$;

в) $\sqrt{45 - 9x^2}$;

г) $\sqrt{5x - 2x^2 - 2}$.

Чтобы найти значения переменной, при которых выражение имеет смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным (больше или равно нулю).

а) Выражение $\sqrt{2 + x - x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$2 + x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 2 \le 0$

Для решения найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Используем теорему Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2$

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-1; 2]$.

б) Выражение $\sqrt{8x^2 - x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$8x^2 - x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(8x - 1) \ge 0$

Найдем корни уравнения $x(8x - 1) = 0$.

$x_1 = 0$

$8x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{8}$

Графиком функции $y = 8x^2 - x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(8x - 1) \ge 0$ выполняется вне промежутка между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \le 0$ или $x \ge \frac{1}{8}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{1}{8}; +\infty)$.

в) Выражение $\sqrt{45 - 9x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$45 - 9x^2 \ge 0$

Разделим обе части на 9:

$5 - x^2 \ge 0$

Перепишем неравенство:

$x^2 \le 5$

Это неравенство равносильно $|x| \le \sqrt{5}$, что означает:

$-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$

Ответ: $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

г) Выражение $\sqrt{5x - 2x^2 - 2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$5x - 2x^2 - 2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$2x^2 - 5x + 2 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Графиком функции $y = 2x^2 - 5x + 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $2x^2 - 5x + 2 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая их.

Следовательно, решение неравенства: $\frac{1}{2} \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; 2]$.