Номер 3.159, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.159. Выясните, существуют ли такие значения аргумента, при которых функция $y = x^2 - 12x + 40$ принимает значения меньше 5.

Для того чтобы выяснить, существуют ли значения аргумента $x$, при которых функция $y = x^2 - 12x + 40$ принимает значения меньше 5, необходимо составить и решить неравенство:

$y < 5$

Подставим выражение для функции $y$ в неравенство:

$x^2 - 12x + 40 < 5$

Для решения неравенства перенесем все его члены в левую часть:

$x^2 - 12x + 40 - 5 < 0$

$x^2 - 12x + 35 < 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-12$, $c=35$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$

Поскольку дискриминант $D=4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это уже доказывает, что существуют значения $x$, удовлетворяющие неравенству. Найдем эти корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm 2}{2}$

Первый корень:

$x_1 = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Второй корень:

$x_2 = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Графиком квадратичной функции $f(x) = x^2 - 12x + 35$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, значения этой функции будут отрицательными (меньше нуля) на интервале между ее корнями.

Таким образом, решение неравенства $x^2 - 12x + 35 < 0$ — это интервал $5 < x < 7$.

Поскольку мы нашли интервал значений аргумента $x$, при которых исходная функция $y$ принимает значения меньше 5, мы можем утверждать, что такие значения существуют.

Ответ: Да, такие значения аргумента существуют. Это все значения $x$ из интервала $(5; 7)$.