Номер 3.160, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.160. Найдите наименьшее и наибольшее целые решения неравенства:

а) $(3x + 1)(5x - 2) \le 12x^2 + 7x + 1;$

б) $(4x - 1)(x + 7) < 2x^2 + 29x - 3;$

в) $(x + 4)(2x - 3) \ge (5x - 6)(x - 3) + 10;$

г) $(x - 4)(3x + 1) - (2x - 6)(x - 2) < 4.$

а) Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(3x + 1)(5x - 2) = 15x^2 - 6x + 5x - 2 = 15x^2 - x - 2$

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$15x^2 - x - 2 \le 12x^2 + 7x + 1$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(15x^2 - 12x^2) + (-x - 7x) + (-2 - 1) \le 0$

$3x^2 - 8x - 3 \le 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 8x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

Парабола $y = 3x^2 - 8x - 3$ имеет ветви, направленные вверх (так как $a = 3 > 0$), поэтому неравенство $3x^2 - 8x - 3 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства: $x \in [-\frac{1}{3}, 3]$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: 0, 1, 2, 3.

Ответ: наименьшее целое решение: 0, наибольшее целое решение: 3.

б) Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(4x - 1)(x + 7) = 4x^2 + 28x - x - 7 = 4x^2 + 27x - 7$

Подставим в исходное неравенство:

$4x^2 + 27x - 7 < 2x^2 + 29x - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$(4x^2 - 2x^2) + (27x - 29x) + (-7 + 3) < 0$

$2x^2 - 2x - 4 < 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 - x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1, 2)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 0, 1.

Ответ: наименьшее целое решение: 0, наибольшее целое решение: 1.

в) Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Левая часть: $(x + 4)(2x - 3) = 2x^2 - 3x + 8x - 12 = 2x^2 + 5x - 12$

Правая часть: $(5x - 6)(x - 3) + 10 = (5x^2 - 15x - 6x + 18) + 10 = 5x^2 - 21x + 28$

Неравенство принимает вид:

$2x^2 + 5x - 12 \ge 5x^2 - 21x + 28$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 \ge (5x^2 - 2x^2) + (-21x - 5x) + (28 + 12)$

$0 \ge 3x^2 - 26x + 40$, что эквивалентно $3x^2 - 26x + 40 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 26x + 40 = 0$:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 676 - 480 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{26 - 14}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{26 + 14}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$

Ветви параболы $y = 3x^2 - 26x + 40$ направлены вверх ($a=3>0$), поэтому неравенство $3x^2 - 26x + 40 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [2, 6\frac{2}{3}]$.

Целые числа, входящие в этот отрезок: 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: наименьшее целое решение: 2, наибольшее целое решение: 6.

г) Раскроем скобки в левой части:

$(x - 4)(3x + 1) = 3x^2 + x - 12x - 4 = 3x^2 - 11x - 4$

$(2x - 6)(x - 2) = 2x^2 - 4x - 6x + 12 = 2x^2 - 10x + 12$

Подставим в неравенство и упростим:

$(3x^2 - 11x - 4) - (2x^2 - 10x + 12) < 4$

$3x^2 - 11x - 4 - 2x^2 + 10x - 12 < 4$

$x^2 - x - 16 < 4$

Перенесем 4 в левую часть:

$x^2 - x - 20 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -20$

Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 - x - 20$ направлены вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-4, 5)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: наименьшее целое решение: -3, наибольшее целое решение: 4.