Номер 3.163, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.163. Найдите значения переменной, при которых:

а) значения квадрата двучлена $x + 1$ меньше значений квадрата двучлена $2x - 1$;

б) значения квадрата двучлена $3x - 5$ не превосходят значений квадрата двучлена $x + 7$.

а) Условие "значения квадрата двучлена $x + 1$ меньше значений квадрата двучлена $2x - 1$" записывается в виде неравенства:
$(x + 1)^2 < (2x - 1)^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить неравенство, сравниваемое с нулем:
$(x + 1)^2 - (2x - 1)^2 < 0$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x + 1$ и $b = 2x - 1$:
$((x + 1) - (2x - 1))((x + 1) + (2x - 1)) < 0$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражения:
$(x + 1 - 2x + 1)(x + 1 + 2x - 1) < 0$
$(-x + 2)(3x) < 0$
Для решения этого неравенства найдем корни уравнения $(-x + 2)(3x) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения $(-x + 2)(3x)$ в каждом интервале. Это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -3). Значение выражения будет меньше нуля (отрицательным) за пределами корней.
Таким образом, решением неравенства являются интервалы $x < 0$ и $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

б) Условие "значения квадрата двучлена $3x - 5$ не превосходят значений квадрата двучлена $x + 7$" означает, что они меньше или равны. Запишем это в виде неравенства:
$(3x - 5)^2 \le (x + 7)^2$
Перенесем все члены в левую часть:
$(3x - 5)^2 - (x + 7)^2 \le 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x - 5$ и $b = x + 7$:
$((3x - 5) - (x + 7))((3x - 5) + (x + 7)) \le 0$
Упростим выражения в скобках:
$(3x - 5 - x - 7)(3x - 5 + x + 7) \le 0$
$(2x - 12)(4x + 2) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 12)(4x + 2) = 0$:
$2x - 12 = 0 \implies 2x = 12 \implies x_1 = 6$
$4x + 2 = 0 \implies 4x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$ делят числовую ось на интервалы.
Выражение $(2x - 12)(4x + 2)$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен $2 \cdot 4 = 8$, что больше нуля).
Следовательно, выражение меньше или равно нулю между корнями, включая сами корни.
Решением неравенства является отрезок $[-\frac{1}{2}; 6]$.
Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}; 6]$