Номер 3.166, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.166. Найдите значения аргумента, при которых значения функции:

а) $y = x^2 - 0.25$ больше значений функции $y = \frac{5 - 2x}{4}$;

б) $y = \frac{x^2}{3}$ не меньше значений функции $y = 2x - 3$.

а) Чтобы найти значения аргумента, при которых значения функции $y = x^2 - 0,25$ больше значений функции $y = \frac{5 - 2x}{4}$, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 0,25 > \frac{5 - 2x}{4}$

Переведем десятичную дробь 0,25 в обыкновенную: $0,25 = \frac{1}{4}$.

$x^2 - \frac{1}{4} > \frac{5 - 2x}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 4 > 0, знак неравенства не меняется.

$4(x^2 - \frac{1}{4}) > 5 - 2x$

$4x^2 - 1 > 5 - 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$4x^2 + 2x - 1 - 5 > 0$

$4x^2 + 2x - 6 > 0$

Для удобства разделим все члены неравенства на 2:

$2x^2 + x - 3 > 0$

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 + x - 3 = 0$, чтобы найти корни параболы.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Графиком функции $y = 2x^2 + x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции больше нуля при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -\frac{3}{2}$ или $x > 1$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$.

б) Чтобы найти значения аргумента, при которых значения функции $y = \frac{x^2}{3}$ не меньше значений функции $y = 2x - 3$, необходимо решить неравенство. "Не меньше" означает "больше или равно" ($\ge$).

$\frac{x^2}{3} \ge 2x - 3$

Умножим обе части неравенства на 3:

$x^2 \ge 3(2x - 3)$

$x^2 \ge 6x - 9$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 6x + 9 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности:

$(x - 3)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом (то есть больше или равен нулю). Следовательно, данное неравенство выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.