Номер 3.171, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.171. Решите квадратное неравенство, используя алгоритм:

а) $x^2 + 6x - 7 \ge 0;$

б) $x^2 - 3x + 2 < 0;$

в) $x^2 - 7x > 0;$

г) $x^2 - 4 \le 0;$

д) $x^2 - 8x + 16 > 0;$

е) $9x^2 + 6x + 1 \le 0;$

ж) $8x^2 + 3 \ge 0;$

з) $3x^2 - x + 9 < 0.$

а) Для решения неравенства $x^2 + 6x - 7 \ge 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = 1$.
Графиком функции $y = x^2 + 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Функция принимает неотрицательные значения ($\ge 0$) при $x$ вне интервала между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [1, +\infty)$.

б) Для решения неравенства $x^2 - 3x + 2 < 0$ найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх ($a=1>0$). Функция принимает отрицательные значения ($< 0$) на интервале между корнями.
Ответ: $x \in (1, 2)$.

в) Для решения неравенства $x^2 - 7x > 0$ разложим левую часть на множители: $x(x - 7) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x - 7) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Ветви параболы $y = x^2 - 7x$ направлены вверх ($a=1>0$). Функция принимает положительные значения ($> 0$) при $x$ вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (7, +\infty)$.

г) Для решения неравенства $x^2 - 4 \le 0$ найдем корни уравнения $x^2 - 4 = 0$.
Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 4$ направлены вверх ($a=1>0$). Функция принимает неположительные значения ($\le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [-2, 2]$.

д) Левая часть неравенства $x^2 - 8x + 16 > 0$ является полным квадратом: $(x-4)^2 > 0$.
Выражение $(x-4)^2$ равно нулю при $x=4$ и строго положительно при всех остальных значениях $x$. Так как неравенство строгое, значение $x=4$ не входит в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

е) Левая часть неравенства $9x^2 + 6x + 1 \le 0$ является полным квадратом: $(3x+1)^2 \le 0$.
Выражение $(3x+1)^2$ всегда неотрицательно. Оно не может быть строго меньше нуля. Равенство нулю достигается при $3x+1=0$, то есть при $x = -1/3$. Это и является единственным решением.
Ответ: $x = -1/3$.

ж) В неравенстве $8x^2 + 3 \ge 0$ левая часть всегда положительна. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $8x^2 \ge 0$, и следовательно $8x^2+3 \ge 3$. Поскольку $3 > 0$, неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

з) Для решения неравенства $3x^2 - x + 9 < 0$ найдем дискриминант соответствующего уравнения $3x^2 - x + 9 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 1 - 108 = -107$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх ($a=3>0$), левая часть неравенства (значение функции $y=3x^2-x+9$) всегда положительна. Следовательно, неравенство $3x^2 - x + 9 < 0$ не имеет решений.
Ответ: решений нет.