Номер 3.177, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.177. Найдите значения переменной, при которых имеет смысл выражение:

a) $ \sqrt{10x - 3 - 3x^2} $;

б) $ \sqrt{5x - 3x^2} $.

Для того чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл в области действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным (то есть больше или равно нулю).

а) $\sqrt{10x - 3 - 3x^2}$

Найдем значения переменной $x$, при которых выражение имеет смысл. Для этого решим неравенство:

$10x - 3 - 3x^2 \ge 0$

Для удобства умножим все члены неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$3x^2 - 10x + 3 \le 0$

Теперь найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 10x + 3$. Решим уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Графиком функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции не превышают нуля ($y \le 0$) на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть отрезок $[\frac{1}{3}, 3]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}, 3]$.

б) $\sqrt{5x - 3x^2}$

Аналогично пункту а), найдем значения $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно:

$5x - 3x^2 \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(5 - 3x) \ge 0$

Найдем корни уравнения $x(5 - 3x) = 0$:

$x_1 = 0$

$5 - 3x = 0 \implies 3x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{3}$

Графиком функции $y = 5x - 3x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-3 < 0$). Значит, функция принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$) на отрезке между корнями.

Решением неравенства является отрезок $[0, \frac{5}{3}]$.

Дробь $\frac{5}{3}$ является неправильной. Преобразуем ее в смешанное число и выделим целую часть, как требуется в задании:

$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $x \in [0, \textbf{1}\frac{2}{3}]$.