Номер 3.180, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.180. Решите неравенство:

а) $(x-2)^2 < 1;$

б) $(4x-1)^2 \ge 9;$

в) $4 > (x+3)^2;$

г) $(3x-4)^2 \le 16.$

а) Решим неравенство $(x-2)^2 < 1$.
Данное неравенство эквивалентно тому, что модуль выражения $x-2$ меньше, чем $\sqrt{1}=1$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $$ -1 < x-2 < 1 $$ Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем частям неравенства: $$ -1 + 2 < x - 2 + 2 < 1 + 2 $$ $$ 1 < x < 3 $$ Решение в виде интервала: $x \in (1; 3)$.
Ответ: $x \in (1; 3)$.

б) Решим неравенство $(4x-1)^2 \ge 9$.
Данное неравенство эквивалентно тому, что модуль выражения $4x-1$ больше или равен $\sqrt{9}=3$. Это распадается на совокупность двух неравенств: $$ 4x-1 \ge 3 \quad \text{или} \quad 4x-1 \le -3 $$ Решим каждое из них:

1. $4x - 1 \ge 3$
   $4x \ge 3 + 1$
   $4x \ge 4$
   $x \ge 1$
2. $4x - 1 \le -3$
   $4x \le -3 + 1$
   $4x \le -2$
   $x \le -\frac{2}{4}$
   $x \le -\frac{1}{2}$

Объединяя полученные решения, получаем: $x \le -\frac{1}{2}$ или $x \ge 1$.
Решение в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [1; \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [1; \infty)$.

в) Решим неравенство $4 > (x+3)^2$.
Это неравенство можно переписать в виде $(x+3)^2 < 4$.
Оно эквивалентно тому, что модуль выражения $x+3$ меньше, чем $\sqrt{4}=2$. Запишем это в виде двойного неравенства: $$ -2 < x+3 < 2 $$ Чтобы найти $x$, вычтем 3 из всех частей неравенства: $$ -2 - 3 < x + 3 - 3 < 2 - 3 $$ $$ -5 < x < -1 $$ Решение в виде интервала: $x \in (-5; -1)$.
Ответ: $x \in (-5; -1)$.

г) Решим неравенство $(3x-4)^2 \le 16$.
Данное неравенство эквивалентно тому, что модуль выражения $3x-4$ меньше или равен $\sqrt{16}=4$. Запишем это в виде двойного неравенства: $$ -4 \le 3x-4 \le 4 $$ Чтобы найти $x$, прибавим 4 ко всем частям неравенства: $$ -4 + 4 \le 3x - 4 + 4 \le 4 + 4 $$ $$ 0 \le 3x \le 8 $$ Теперь разделим все части неравенства на 3: $$ \frac{0}{3} \le x \le \frac{8}{3} $$ $$ 0 \le x \le \frac{8}{3} $$ Для выполнения требования "выделена целая часть из неправильной дроби", преобразуем неправильную дробь $\frac{8}{3}$ в смешанное число: $$ \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$ Таким образом, решение неравенства: $0 \le x \le 2\frac{2}{3}$.
Решение в виде отрезка: $x \in [0; 2\frac{2}{3}]$.
Ответ: $x \in [0; 2\frac{2}{3}]$.