Номер 3.185, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.185. Найдите значения переменной, при которых значение квадрата двучлена $3x - 2$ не превосходит значений выражения $3x^2 - 10x + 8$.

Согласно условию задачи, значение квадрата двучлена $3x - 2$ не превосходит значения выражения $3x^2 - 10x + 8$. Это можно записать в виде неравенства:

$(3x - 2)^2 \le 3x^2 - 10x + 8$

Раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 \le 3x^2 - 10x + 8$

$9x^2 - 12x + 4 \le 3x^2 - 10x + 8$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное неравенство вида $ax^2 + bx + c \le 0$:

$(9x^2 - 3x^2) + (-12x + 10x) + (4 - 8) \le 0$

$6x^2 - 2x - 4 \le 0$

Для удобства разделим обе части неравенства на 2:

$3x^2 - x - 2 \le 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 - x - 2 = 0$, чтобы найти его корни. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Мы получили параболу $y = 3x^2 - x - 2$, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент $a=3 > 0$). Неравенство $3x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $[-\frac{2}{3}; 1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}; 1]$.