Номер 3.186, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.186. Докажите, что не существует таких значений переменной, при которых выполняется неравенство $-5x^2 + 2x > \frac{1}{5}$.

Чтобы доказать, что не существует таких значений переменной, при которых выполняется данное неравенство, мы можем проанализировать его. Существует несколько способов доказательства. Рассмотрим один из них, основанный на преобразовании неравенства.

Исходное неравенство: $$-5x^2 + 2x > \frac{1}{5}$$

Шаг 1: Перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем. $$-5x^2 + 2x - \frac{1}{5} > 0$$

Шаг 2: Умножим обе части неравенства на -5, чтобы избавиться от дроби и сделать старший коэффициент положительным. При умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. $$(-5) \cdot (-5x^2 + 2x - \frac{1}{5}) < (-5) \cdot 0$$ $$25x^2 - 10x + 1 < 0$$

Шаг 3: Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности. Оно соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 5x$ и $b = 1$. $$ (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2 < 0$$ Свернем выражение: $$(5x - 1)^2 < 0$$

Шаг 4: Проанализируем полученное неравенство. Выражение $(5x - 1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю: $$(5x - 1)^2 \ge 0$$ Это верно для любого значения $x$.

Вывод: Неравенство $(5x - 1)^2 < 0$ утверждает, что квадрат некоторого числа должен быть строго меньше нуля, что невозможно для действительных чисел. Следовательно, это неравенство не имеет решений. Поскольку мы приходим к этому неравенству с помощью эквивалентных преобразований, то и исходное неравенство $-5x^2 + 2x > \frac{1}{5}$ также не имеет решений.

Альтернативное доказательство (через нахождение максимума функции):

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен -5, что меньше нуля). Такая парабола имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $$x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-5)} = -\frac{2}{-10} = \frac{1}{5}$$

Наибольшее значение функции (координата $y$ вершины) равно: $$y_{max} = -5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right) = -5 \cdot \frac{1}{25} + \frac{2}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$$

Таким образом, максимальное значение выражения $-5x^2 + 2x$ равно $\frac{1}{5}$. Это означает, что для любого $x$ выполняется условие $-5x^2 + 2x \le \frac{1}{5}$. Неравенство никогда не может быть строгим ($-5x^2 + 2x > \frac{1}{5}$), так как левая часть никогда не превышает правую.

Оба метода доказывают, что не существует таких значений переменной, при которых неравенство выполняется.