Номер 3.190, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.190. Найдите такие значения $a$, при которых уравнение $2x^2 + ax + 2 = 0$ имеет два различных корня.

Данное уравнение $2x^2 + ax + 2 = 0$ является квадратным уравнением. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант (D) строго больше нуля.

Общий вид квадратного уравнения: $Ax^2 + Bx + C = 0$.
В нашем случае коэффициенты равны: $A=2$, $B=a$, $C=2$.

Формула для вычисления дискриминанта:

$D = B^2 - 4AC$

Подставим наши коэффициенты в формулу:

$D = a^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = a^2 - 16$

Теперь, согласно условию, что уравнение должно иметь два различных корня, наложим ограничение $D > 0$:

$a^2 - 16 > 0$

Для решения этого неравенства разложим его левую часть на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a - 4)(a + 4) > 0$

Это неравенство выполняется, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Рассмотрим два случая:

1. Оба множителя положительны: $\begin{cases} a - 4 > 0 \\ a + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a > 4 \\ a > -4 \end{cases}$. Решением этой системы является $a > 4$.
2. Оба множителя отрицательны: $\begin{cases} a - 4 < 0 \\ a + 4 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a < 4 \\ a < -4 \end{cases}$. Решением этой системы является $a < -4$.

Объединяя оба случая, получаем, что неравенство выполняется при $a < -4$ или $a > 4$. Это можно записать в виде объединения интервалов.

Ответ: $a \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.