Номер 3.195, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.195. Разложите на множители:

а) $y^3 - 49y$;

б) $-3a^2 - 6ab - 3b^2$;

в) $(a - 6)^2 - 9a^2$;

г) $c^2 - b^2 - c + b$.

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $y^3 - 49y$, необходимо сначала вынести за скобки общий множитель $y$.

$y^3 - 49y = y(y^2 - 49)$

Выражение в скобках, $y^2 - 49$, является разностью квадратов, поскольку $49 = 7^2$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y(y^2 - 7^2) = y(y - 7)(y + 7)$

Ответ: $y(y - 7)(y + 7)$

б) В выражении $-3a^2 - 6ab - 3b^2$ вынесем за скобки общий множитель $-3$.

$-3a^2 - 6ab - 3b^2 = -3(a^2 + 2ab + b^2)$

Выражение в скобках, $a^2 + 2ab + b^2$, представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$-3(a + b)^2$

Ответ: $-3(a + b)^2$

в) Выражение $(a - 6)^2 - 9a^2$ является разностью квадратов. Представим $9a^2$ как $(3a)^2$.

$(a - 6)^2 - (3a)^2$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a - 6$ и $y = 3a$:

$((a - 6) - 3a)((a - 6) + 3a)$

Упростим выражения в каждой скобке:

$(a - 6 - 3a)(a - 6 + 3a) = (-2a - 6)(4a - 6)$

Этот результат можно упростить дальше, вынеся общие множители из каждой скобки: $-2$ из первой и $2$ из второй.

$-2(a + 3) \cdot 2(2a - 3) = -4(a + 3)(2a - 3)$

Ответ: $(-2a - 6)(4a - 6)$ или $-4(a + 3)(2a - 3)$

г) Для разложения выражения $c^2 - b^2 - c + b$ воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первые два члена и последние два.

$(c^2 - b^2) + (-c + b)$

Первую группу разложим по формуле разности квадратов. Из второй группы вынесем множитель $-1$.

$(c - b)(c + b) - 1(c - b)$

Теперь видно, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(c - b)$. Вынесем его за скобки.

$(c - b)((c + b) - 1) = (c - b)(c + b - 1)$

Ответ: $(c - b)(c + b - 1)$