Номер 3.202, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.202. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} 3x^2 - x - 4 < 0, \\ x > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 + 5x + 2 \ge 0, \\ x - 1 \le 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4x^2 + 5x - 6 > 0, \\ 3 - 2x \ge 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x^2 - 5x + 2 \le 0, \\ 4 - 5x > 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x^2 - x - 4 < 0 \\ x > 0 \end{cases} $
1. Решим квадратное неравенство $3x^2 - x - 4 < 0$.
Находим корни соответствующего уравнения $3x^2 - x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1+7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ и $x_2 = \frac{1-7}{6} = -1$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3>0$), ветви параболы направлены вверх. Решение неравенства находится между корнями: $x \in (-1, \frac{4}{3})$.
2. Второе неравенство системы $x > 0$ определяет интервал $(0, +\infty)$.
3. Находим пересечение решений $(-1, \frac{4}{3})$ и $(0, +\infty)$. Пересечением является интервал $(0, \frac{4}{3})$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $(0, 1\frac{1}{3})$.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x^2 + 5x + 2 \ge 0 \\ x - 1 \le 0 \end{cases} $
1. Решим квадратное неравенство $2x^2 + 5x + 2 \ge 0$.
Находим корни уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-5-3}{4} = -2$.
Так как ветви параболы направлены вверх ($a=2>0$), решение неравенства находится вне интервала между корнями, включая сами корни: $x \in (-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{2}, +\infty)$.
2. Решим линейное неравенство $x - 1 \le 0 \implies x \le 1$. Решение: $x \in (-\infty, 1]$.
3. Находим пересечение решений: $((-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{2}, +\infty)) \cap (-\infty, 1]$.
Пересечение дает объединение промежутков: $(-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{2}, 1]$.
Ответ: $(-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{2}, 1]$.

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 4x^2 + 5x - 6 > 0 \\ 3 - 2x \ge 0 \end{cases} $
1. Решим квадратное неравенство $4x^2 + 5x - 6 > 0$.
Находим корни уравнения $4x^2 + 5x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5+11}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ и $x_2 = \frac{-5-11}{8} = -2$.
Так как ветви параболы направлены вверх ($a=4>0$), решение неравенства находится вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{3}{4}, +\infty)$.
2. Решим линейное неравенство $3 - 2x \ge 0 \implies -2x \ge -3 \implies x \le \frac{3}{2}$. Решение: $x \in (-\infty, \frac{3}{2}]$.
3. Находим пересечение решений: $((-\infty, -2) \cup (\frac{3}{4}, +\infty)) \cap (-\infty, \frac{3}{2}]$.
Пересечение дает объединение промежутков: $(-\infty, -2) \cup (\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $(-\infty, -2) \cup (\frac{3}{4}, 1\frac{1}{2}]$.

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x^2 - 5x + 2 \le 0 \\ 4 - 5x > 0 \end{cases} $
1. Решим квадратное неравенство $3x^2 - 5x + 2 \le 0$.
Находим корни уравнения $3x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{5+1}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Так как ветви параболы направлены вверх ($a=3>0$), решение неравенства находится между корнями, включая сами корни: $x \in [\frac{2}{3}, 1]$.
2. Решим линейное неравенство $4 - 5x > 0 \implies -5x > -4 \implies x < \frac{4}{5}$. Решение: $x \in (-\infty, \frac{4}{5})$.
3. Находим пересечение решений: $[\frac{2}{3}, 1] \cap (-\infty, \frac{4}{5})$.
Так как $\frac{2}{3} \approx 0.67$ и $\frac{4}{5} = 0.8$, то $\frac{2}{3} < \frac{4}{5} < 1$.
Пересечение дает промежуток: $[\frac{2}{3}, \frac{4}{5})$.
Ответ: $[\frac{2}{3}, \frac{4}{5})$.