Номер 3.205, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.205. Найдите все значения аргумента, при которых график функции $y = -x^2$ расположен выше прямой $y = -9$ и ниже прямой $y = -1$.

Согласно условию задачи, необходимо найти такие значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = -x^2$ будет больше $-9$ и меньше $-1$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

Подставим в это неравенство выражение для функции $y = -x^2$:

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решение первого неравенства:

Умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

Это неравенство выполняется для всех $x$, находящихся в интервале от $-3$ до $3$ (не включая концы):

Таким образом, решение первого неравенства — это интервал $x \in (-3; 3)$.

2. Решение второго неравенства:

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

Это неравенство выполняется, когда $x$ меньше $-1$ или больше $1$:

Таким образом, решение второго неравенства — это объединение двух интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

3. Поиск общего решения:

Теперь необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Для этого найдем пересечение полученных множеств решений:

Это удобно сделать, представив интервалы на числовой прямой. Общими будут те участки, где штриховка обоих решений совпадает. Это будут два интервала:

• от $-3$ до $-1$, не включая концы: $(-3; -1)$
• от $1$ до $3$, не включая концы: $(1; 3)$

Объединив эти два интервала, мы получим итоговый ответ.

Ответ: Аргумент $x$ принимает значения из объединения интервалов $(-3; -1) \cup (1; 3)$.