устные вопросы и задания в § 16, страница 206 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Может ли решением системы квадратных неравенств быть пустое множество?

2. Может ли решением системы квадратных неравенств быть множество, состоящее из одного числа?

3. Может ли решением совокупности квадратных неравенств быть множество, состоящее из одного числа?

1. Может ли решением системы квадратных неравенств быть пустое множество?
Да, может. Решение системы неравенств представляет собой пересечение (общую часть) множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Если эти множества решений не имеют общих точек, то их пересечение является пустым множеством.

Рассмотрим пример системы квадратных неравенств: $$ \begin{cases} x^2 > 4 \\ x^2 < 1 \end{cases} $$ Решением первого неравенства $x^2 - 4 > 0$ является объединение интервалов $$(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$$.
Решением второго неравенства $x^2 - 1 < 0$ является интервал $$(-1; 1)$$.
Пересечение множеств $$(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$$ и $$(-1; 1)$$ является пустым множеством ($$\emptyset$$), так как у них нет общих элементов. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ:

2. Может ли решением системы квадратных неравенств быть множество, состоящее из одного числа?
Да, может. Такое возможно, если пересечение множеств решений неравенств системы состоит из одной точки. Например, если решением одного неравенства является одно число, а решением другого — промежуток, включающий это число.

Рассмотрим пример: $$ \begin{cases} x^2 - 6x + 9 \le 0 \\ x^2 - 4x + 3 \le 0 \end{cases} $$ Преобразуем первое неравенство: $$(x-3)^2 \le 0$$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($$(x-3)^2 \ge 0$$), единственное решение этого неравенства достигается при $$(x-3)^2 = 0$$, то есть $$x = 3$$.
Решим второе неравенство: $$x^2 - 4x + 3 \le 0$$. Корнями уравнения $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ являются $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 3$$. Следовательно, решением неравенства является отрезок $$[1; 3]$$.
Решением системы является пересечение множества $${3}$$ и отрезка $$[1; 3]$$, что дает единственное число $$x = 3$$.

Ответ:

3. Может ли решением совокупности квадратных неравенств быть множество, состоящее из одного числа?
Да, может. Решение совокупности неравенств — это объединение множеств решений каждого неравенства. Чтобы объединение состояло из одного числа, необходимо, чтобы решением одного из неравенств было это единственное число, а остальные неравенства либо имели то же самое решение, либо не имели решений вовсе (их решение — пустое множество).

Рассмотрим пример: $$ \left[ \begin{array}{l} x^2 + 2x + 1 \le 0 \\ -x^2 - 5 > 0 \end{array} \right. $$ Решением первого неравенства $$(x+1)^2 \le 0$$ является единственное число $$x = -1$$, так как $$(x+1)^2$$ не может быть отрицательным.
Второе неравенство $$-x^2 - 5 > 0$$ можно переписать как $$x^2 < -5$$. Это неравенство не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Его множество решений — пустое ($$\emptyset$$).
Объединение множества $${-1}$$ и пустого множества $$ \emptyset $$ есть множество $${-1}$$, состоящее из одного числа.

Ответ: