Номер 3.198, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.198. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases}-2(x - 2,5) > 0, \\2x - (2 - x) \le 5;\end{cases}$

б) $\begin{cases}-2x - 2,6 \le 0, \\x - 2(1 - 3x) \le 0.\end{cases}$

a) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -2(x - 2,5) > 0 \\ 2x - (2 - x) \le 5 \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство:

$-2(x - 2,5) > 0$

Разделим обе части неравенства на $-2$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 2,5 < 0$

$x < 2,5$

Теперь решим второе неравенство:

$2x - (2 - x) \le 5$

Раскроем скобки:

$2x - 2 + x \le 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x - 2 \le 5$

Перенесем $-2$ в правую часть с противоположным знаком:

$3x \le 5 + 2$

$3x \le 7$

Разделим обе части на 3:

$x \le \frac{7}{3}$

Теперь нам нужно найти пересечение решений двух неравенств: $x < 2,5$ и $x \le \frac{7}{3}$.

Для сравнения чисел $2,5$ и $\frac{7}{3}$ приведем их к общему виду. Преобразуем $\frac{7}{3}$ в смешанное число: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$. Десятичная дробь $2,5 = 2\frac{1}{2}$.

Так как $2\frac{1}{3} < 2\frac{1}{2}$, то общее решение системы будет $x \le \frac{7}{3}$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{3}$ в смешанное число, выделяя целую часть.

$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Ответ: $x \le \mathbf{2}\frac{1}{3}$.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -2x - 2,6 \le 0 \\ x - 2(1 - 3x) \le 0 \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство:

$-2x - 2,6 \le 0$

Перенесем $-2,6$ в правую часть:

$-2x \le 2,6$

Разделим обе части на $-2$, меняя знак неравенства на противоположный:

$x \ge \frac{2,6}{-2}$

$x \ge -1,3$

Теперь решим второе неравенство:

$x - 2(1 - 3x) \le 0$

Раскроем скобки:

$x - 2 + 6x \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$7x - 2 \le 0$

Перенесем $-2$ в правую часть:

$7x \le 2$

Разделим обе части на 7:

$x \le \frac{2}{7}$

Теперь найдем пересечение решений $x \ge -1,3$ и $x \le \frac{2}{7}$.

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство:

$-1,3 \le x \le \frac{2}{7}$

Для выполнения условия задачи, представим десятичную дробь $-1,3$ в виде неправильной дроби, а затем в виде смешанного числа для выделения целой части.

$-1,3 = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10}$

Ответ: $\mathbf{-1}\frac{3}{10} \le x \le \frac{2}{7}$.