Номер 3.199, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.199. Найдите решение совокупности неравенств:

а) $\begin{cases} 3x - 4 \le -15, \\ 2(x - 3) > 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - 4 \ge -15, \\ 2(x - 3) < 8. \end{cases}$

a) Решим данную совокупность неравенств. Совокупность (обозначается квадратной скобкой) означает, что итоговое решение является объединением решений каждого из неравенств.

Решим первое неравенство:

$3x - 4 \le -15$

Перенесем -4 в правую часть, изменив знак:

$3x \le -15 + 4$

$3x \le -11$

Разделим обе части на 3:

$x \le -\frac{11}{3}$

Чтобы выделить целую часть, представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$x \le -3\frac{2}{3}$

Решение первого неравенства в виде промежутка: $x \in (-\infty; -3\frac{2}{3}]$.

Решим второе неравенство:

$2(x - 3) > 8$

Разделим обе части на 2:

$x - 3 > 4$

Перенесем -3 в правую часть, изменив знак:

$x > 4 + 3$

$x > 7$

Решение второго неравенства в виде промежутка: $x \in (7; +\infty)$.

Решением совокупности является объединение полученных решений:

$x \in (-\infty; -3\frac{2}{3}] \cup (7; +\infty)$

Ответ: $(-\infty; -\mathbf{3}\frac{2}{3}] \cup (7; +\infty)$.

б) Решим вторую совокупность неравенств, также находя объединение решений.

Решим первое неравенство:

$3x - 4 \ge -15$

$3x \ge -15 + 4$

$3x \ge -11$

$x \ge -\frac{11}{3}$

Выделим целую часть:

$x \ge -3\frac{2}{3}$

Решение первого неравенства: $x \in [-3\frac{2}{3}; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$2(x - 3) < 8$

$x - 3 < 4$

$x < 7$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 7)$.

Объединим множества решений $x \in [-3\frac{2}{3}; +\infty)$ и $x \in (-\infty; 7)$. Первое множество включает все числа от $-3\frac{2}{3}$ до плюс бесконечности. Второе множество включает все числа от минус бесконечности до 7. Так как эти промежутки пересекаются, их объединение покрывает всю числовую прямую.

$[-3\frac{2}{3}; +\infty) \cup (-\infty; 7) = (-\infty; +\infty)$

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.