Номер 3.203, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.203. Найдите все значения аргумента, при которых и функция $y = 2x^2 + 9x + 4$, и функция $y = 6 - 5x$ принимают неотрицательные значения.

Чтобы найти все значения аргумента (x), при которых обе функции принимают неотрицательные значения (то есть $y \ge 0$), необходимо решить систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x^2 + 9x + 4 \ge 0 \\ 6 - 5x \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решение неравенства $2x^2 + 9x + 4 \ge 0$

Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 9x + 4 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 7}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Графиком функции $y = 2x^2 + 9x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-0.5; +\infty)$.

2. Решение неравенства $6 - 5x \ge 0$

Это линейное неравенство. Перенесем $6$ в правую часть:

$-5x \ge -6$

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{-6}{-5}$

$x \le \frac{6}{5}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{5}]$. Неправильная дробь $\frac{6}{5}$ в виде смешанного числа равна $1\frac{1}{5}$. Целая часть: 1.

3. Нахождение общих решений

Теперь необходимо найти пересечение множеств решений обоих неравенств:

$\left( (-\infty; -4] \cup [-0.5; +\infty) \right) \cap \left( -\infty; \frac{6}{5} \right]$

Изобразив эти множества на числовой оси, мы видим, что их пересечение состоит из двух промежутков: от минус бесконечности до -4 (включительно) и от -0.5 до $\frac{6}{5}$ (включительно).

Ответ: Итоговое множество значений аргумента, при которых обе функции неотрицательны, есть $x \in (-\infty; -4] \cup [-0.5; \frac{6}{5}]$. В данном ответе присутствует неправильная дробь $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$. Целая часть этой дроби равна 1.