Номер 3.208, страница 207 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.208. В лекционной аудитории число рядов на 8 больше, чем число мест в одном ряду, при этом общее число мест в аудитории не превосходит 105, а число рядов не меньше 9. Каково наибольшее возможное число рядов в этой аудитории?

Пусть $x$ — число рядов в аудитории, а $y$ — число мест в одном ряду.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений и неравенств:

• Число рядов на 8 больше, чем число мест в одном ряду: $x = y + 8$. Отсюда следует, что $y = x - 8$.
• Общее число мест в аудитории не превосходит 105. Общее число мест равно произведению числа рядов на число мест в одном ряду: $x \cdot y \le 105$.
• Число рядов не меньше 9: $x \ge 9$.

Подставим выражение для $y$ из первого пункта во второе неравенство:
$x \cdot (x - 8) \le 105$

Таким образом, нам необходимо решить систему неравенств относительно $x$:
$\begin{cases} x(x-8) \le 105 \\ x \ge 9\end{cases}$

Решим первое неравенство:
$x^2 - 8x - 105 \le 0$
Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x - 105 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484 = 22^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{8 - 22}{2} = -7$
$x_2 = \frac{8 + 22}{2} = 15$

Поскольку ветви параболы $f(x) = x^2 - 8x - 105$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 8x - 105 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-7, 15]$.

Теперь найдем общее решение системы, объединив полученный результат с условием $x \ge 9$:
$\begin{cases} -7 \le x \le 15 \\ x \ge 9\end{cases}$
Пересечением этих условий является отрезок $[9, 15]$.

Так как $x$ (число рядов) может быть только целым числом, то его возможные значения принадлежат множеству $\{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$.

Каково наибольшее возможное число рядов в этой аудитории?
Наибольшее возможное целое число рядов из найденного диапазона — это 15. Проверим его: если рядов 15, то мест в ряду $15 - 8 = 7$. Общее число мест $15 \cdot 7 = 105$, что удовлетворяет условию "не превосходит 105". Число рядов 15 также удовлетворяет условию "не меньше 9".
Ответ: 15