Номер 3.212, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.212. Решите систему квадратных неравенств:

a) $\begin{cases} (x + 2)^2 \leq (2x - 3)^2 - 8(x - 5), \\ x^2 - x - 42 < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x - 2)^2 < (2x + 3)^2 - 8(x + 5), \\ x^2 + x - 42 \leq 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x + 2)^2 \le (2x - 3)^2 - 8(x - 5) \\ x^2 - x - 42 < 0 \end{cases} $$

1. Упростим и решим первое неравенство:

$$ (x + 2)^2 \le (2x - 3)^2 - 8(x - 5) $$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и распределительный закон:

$$ x^2 + 4x + 4 \le (4x^2 - 12x + 9) - (8x - 40) $$

$$ x^2 + 4x + 4 \le 4x^2 - 12x + 9 - 8x + 40 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ x^2 + 4x + 4 \le 4x^2 - 20x + 49 $$

Перенесем все члены в правую часть:

$$ 0 \le 3x^2 - 24x + 45 $$

Разделим обе части неравенства на 3:

$$ x^2 - 8x + 15 \ge 0 $$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $y = x^2 - 8x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$$ x^2 - x - 42 < 0 $$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 42 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 7$. Ветви параболы $y = x^2 - x - 42$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in (-6, 7)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$$ ((-\infty, 3] \cup [5, +\infty)) \cap (-6, 7) $$

Общей частью является объединение интервалов $(-6, 3]$ и $[5, 7)$.

Ответ: $x \in (-6, 3] \cup [5, 7)$.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x - 2)^2 < (2x + 3)^2 - 8(x + 5) \\ x^2 + x - 42 \le 0 \end{cases} $$

1. Упростим и решим первое неравенство:

$$ (x - 2)^2 < (2x + 3)^2 - 8(x + 5) $$

$$ x^2 - 4x + 4 < (4x^2 + 12x + 9) - (8x + 40) $$

$$ x^2 - 4x + 4 < 4x^2 + 12x + 9 - 8x - 40 $$

$$ x^2 - 4x + 4 < 4x^2 + 4x - 31 $$

Перенесем все члены в правую часть:

$$ 0 < 3x^2 + 8x - 35 $$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 8x - 35 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-35) = 64 + 420 = 484 = 22^2 $$

Корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 22}{6} = \frac{-30}{6} = -5 $$

$$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 22}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} $$

Ветви параболы $y = 3x^2 + 8x - 35$ направлены вверх, поэтому неравенство $3x^2 + 8x - 35 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (\frac{7}{3}, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$$ x^2 + x - 42 \le 0 $$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 42 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 6$. Ветви параболы $y = x^2 + x - 42$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая их).

Решение второго неравенства: $x \in [-7, 6]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$$ ((-\infty, -5) \cup (\frac{7}{3}, +\infty)) \cap [-7, 6] $$

Общей частью является объединение интервалов $[-7, -5)$ и $(\frac{7}{3}, 6]$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{3}$ в смешанное число: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in [-7, -5) \cup (\mathbf{2}\frac{1}{3}, 6]$.