Номер 3.214, страница 208 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.214. Найдите все значения аргумента, при которых график функции $y = x^2 - x$ расположен выше прямой $y = 20$ или ниже прямой $y = 12$.

Для того чтобы найти все значения аргумента $x$, при которых выполняется заданное условие, необходимо решить два неравенства, объединенных союзом "или".

1. График функции $y = x^2 - x$ расположен выше прямой $y = 20$.

Это условие можно записать в виде неравенства:

$y > 20$

$x^2 - x > 20$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 - x - 20 > 0$

Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 20 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Графиком функции $f(x) = x^2 - x - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $f(x) > 0$ выполняется для значений $x$, которые лежат вне интервала между корнями.

Таким образом, решение для этого случая: $x \in (-\infty; -4) \cup (5; +\infty)$.

2. График функции $y = x^2 - x$ расположен ниже прямой $y = 12$.

Это условие можно записать в виде неравенства:

$y < 12$

$x^2 - x < 12$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 12 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Ветви параболы $f(x) = x^2 - x - 12$ также направлены вверх. Неравенство $f(x) < 0$ выполняется для значений $x$, которые лежат между корнями.

Таким образом, решение для этого случая: $x \in (-3; 4)$.

Итоговый результат

Поскольку в условии задачи стоит союз "или", итоговое решение является объединением множеств, найденных в пунктах 1 и 2:

$(-\infty; -4) \cup (5; +\infty) \cup (-3; 4)$

Записав интервалы в порядке возрастания, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; 4) \cup (5; +\infty)$.