Номер 3.221, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.221. Найдите наименьшее и наибольшее целые решения системы неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 + 6x > 0, \\ x^2 - 2x \le 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 36 < 0, \\ 9x^2 - 1 \ge 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + 6x > 0, \\ x^2 - 2x \le 0; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $x^2 + 6x > 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x + 6) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x+6)=0$ равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 0$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 6x$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 2x \le 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 2) \le 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x-2)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x$ направлены вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in [0, 2]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств, чтобы найти решение системы.
$((-\infty, -6) \cup (0, +\infty)) \cap [0, 2]$.
Общим решением является полуинтервал $(0, 2]$.

Целые числа, принадлежащие этому полуинтервалу: 1 и 2.
Следовательно, наименьшее целое решение - это 1, а наибольшее - 2.

Ответ: наименьшее целое решение 1, наибольшее целое решение 2.

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - 36 < 0, \\ 9x^2 - 1 \ge 0. \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 36 < 0$.
Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(x - 6)(x + 6) < 0$.
Корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 6)=0$ равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 36$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-6, 6)$.

2. Решим второе неравенство $9x^2 - 1 \ge 0$.
Разложим левую часть на множители: $(3x - 1)(3x + 1) \ge 0$.
Корни соответствующего уравнения $(3x - 1)(3x + 1)=0$ равны $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 1/3$.
Так как ветви параболы $y = 9x^2 - 1$ направлены вверх, неравенство выполняется вне отрезка между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -1/3] \cup [1/3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
$(-6, 6) \cap ((-\infty, -1/3] \cup [1/3, +\infty))$.
Общим решением является объединение двух промежутков: $(-6, -1/3] \cup [1/3, 6)$.

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому объединению.
Целые числа в промежутке $(-6, -1/3]$: -5, -4, -3, -2, -1.
Целые числа в промежутке $[1/3, 6)$: 1, 2, 3, 4, 5.
Из всего набора целых решений $\{-5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5\}$ наименьшим является -5, а наибольшим 5.

Ответ: наименьшее целое решение -5, наибольшее целое решение 5.