Номер 3.225, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.225. Учащиеся 9-х классов решили принять участие в республиканской новогодней благотворительной акции «Наши дети» и подготовили подарки. При этом они заметили, что если подарков будет столько же, сколько конфет в каждом подарке, то число всех конфет не превысит 400, а если конфет в каждом подарке будет на 10 меньше, чем подарков, то число конфет не превысит 144. Каково максимально возможное число подарков?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество подарков. Согласно условиям задачи, мы можем составить систему неравенств.

1. Из первого условия: "если подарков будет столько же, сколько конфет в каждом подарке, то число всех конфет не превысит 400".
Это означает, что количество конфет в каждом подарке также равно $x$. Общее число конфет равно $x \cdot x = x^2$. Неравенство будет выглядеть так:$x^2 \le 400$

2. Из второго условия: "если конфет в каждом подарке будет на 10 меньше, чем подарков, то число конфет не превысит 144".
В этом случае количество конфет в каждом подарке равно $x - 10$. Общее число конфет равно $x(x-10)$. Неравенство будет выглядеть так:$x(x - 10) \le 144$

3. По смыслу задачи, количество подарков $x$ и количество конфет в подарке $(x-10)$ должны быть целыми положительными числами. Следовательно, $x > 0$, $x \in \mathbb{N}$ и $x - 10 > 0$, что означает $x > 10$.

Теперь решим полученную систему неравенств:$\begin{cases} x^2 \le 400 \\ x(x - 10) \le 144 \\ x > 10 \\ x \in \mathbb{N} \end{cases}$

Решим первое неравенство:$x^2 \le 400$$\sqrt{x^2} \le \sqrt{400}$$|x| \le 20$$-20 \le x \le 20$

Решим второе неравенство:$x(x - 10) \le 144$$x^2 - 10x \le 144$$x^2 - 10x - 144 \le 0$Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x - 144 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 100 + 576 = 676 = 26^2$. Найдем корни:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 26}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18$Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 10x - 144 \le 0$ выполняется между корнями, то есть при $-8 \le x \le 18$.

Теперь найдем пересечение всех полученных решений:$\begin{cases} -20 \le x \le 20 \\ -8 \le x \le 18 \\ x > 10 \\ x \in \mathbb{N} \end{cases}$

Из первых двух неравенств следует, что $x$ должен находиться в промежутке $[-8; 18]$. Учитывая условие $x > 10$, получаем, что $x$ находится в промежутке $(10; 18]$. Поскольку $x$ — целое число, возможные значения для $x$: $\{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\}$.

Нас интересует максимально возможное число подарков. Максимальное значение в этом множестве — 18.

Каково максимально возможное число подарков? Ответ: 18