Номер 3.224, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.224. Найдите область определения выражения:

a) $\sqrt{-x^2+x+2} + \sqrt{1-x};$

б) $\sqrt{25-x^2} - \sqrt{2x-10}.$

а) Чтобы найти область определения выражения $\sqrt{-x^2 + x + 2} + \sqrt{1 - x}$, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} -x^2 + x + 2 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $-x^2 + x + 2 \ge 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - x - 2 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-1, 2]$.

2. Решим второе неравенство: $1 - x \ge 0$.
$-x \ge -1$
$x \le 1$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 1]$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $[-1, 2] \cap (-\infty, 1]$.
Общим решением системы является промежуток, где выполняются оба условия.

Областью определения выражения является промежуток $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.

б) Чтобы найти область определения выражения $\sqrt{25 - x^2} - \sqrt{2x - 10}$, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 25 - x^2 \ge 0 \\ 2x - 10 \ge 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $25 - x^2 \ge 0$.
$x^2 \le 25$
$|x| \le 5$
Это неравенство выполняется для $x \in [-5, 5]$.

2. Решим второе неравенство: $2x - 10 \ge 0$.
$2x \ge 10$
$x \ge 5$
Решение второго неравенства: $x \in [5, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений: $x \in [-5, 5] \cap [5, \infty)$.
Единственное число, которое принадлежит обоим промежуткам, — это 5.

Ответ: $\{5\}$.