Номер 3.228, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.228. Решите совокупность квадратных неравенств:

a)$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \le 0, \\ x^2 - 11x + 28 < 0; \end{cases}$

б)$\begin{cases} x^2 - 4 \le 0, \\ 2x^2 - 5x + 3 > 0. \end{cases}$

а) Решим совокупность квадратных неравенств:

$ \begin{bmatrix} x^2 - 2x - 3 \le 0, \\ x^2 - 11x + 28 < 0. \end{bmatrix} $

Сначала решим каждое неравенство отдельно.

1. Решим неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Следовательно, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неположительны ($ \le 0 $) на отрезке между корнями.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-1, 3]$.

2. Решим неравенство $x^2 - 11x + 28 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 11x + 28 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение равно 28. Следовательно, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 11x + 28$ также является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны ($ < 0 $) на интервале между корнями.
Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (4, 7)$.

3. Найдем объединение решений.
Решение совокупности — это объединение множеств решений каждого из неравенств.
Объединяем полученные множества: $[-1, 3] \cup (4, 7)$.

Ответ: $x \in [-1, 3] \cup (4, 7)$.

б) Решим совокупность квадратных неравенств:

$ \begin{bmatrix} x^2 - 4 \le 0, \\ 2x^2 - 5x + 3 > 0. \end{bmatrix} $

Сначала решим каждое неравенство отдельно.

1. Решим неравенство $x^2 - 4 \le 0$.
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) \le 0$.
Корнями уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $ \le 0 $ выполняется на отрезке между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in [-2, 2]$.

2. Решим неравенство $2x^2 - 5x + 3 > 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Графиком функции $y = 2x^2 - 5x + 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $ > 0 $ выполняется вне интервала между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (1\frac{1}{2}, +\infty)$.

3. Найдем объединение решений.
Решение совокупности — это объединение множеств $x \in [-2, 2]$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (1\frac{1}{2}, +\infty)$.
На числовой прямой первое решение — это отрезок $[-2, 2]$. Второе решение — это вся числовая прямая, за исключением отрезка $[1, 1\frac{1}{2}]$.
Поскольку отрезок $[1, 1\frac{1}{2}]$ полностью содержится в отрезке $[-2, 2]$, объединение этих двух множеств покрывает всю числовую прямую.
Объединение: $(-\infty, 1) \cup (1\frac{1}{2}, +\infty) \cup [-2, 2] = (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.