Номер 3.233, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.233. Сравните значения выражений $a^{-3} - b^{-3}$ и $(a-b)^{-3}$ при $a = 0,5$; $b = 0,25$.

Для того чтобы сравнить значения выражений, вычислим значение каждого из них при заданных $a = 0,5$ и $b = 0,25$.

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных:

$a = 0,5 = \frac{1}{2}$

$b = 0,25 = \frac{1}{4}$

Теперь вычислим значение каждого выражения по отдельности.

Выражение $a^{-3} - b^{-3}$

Подставляем значения $a$ и $b$ в выражение:

$a^{-3} - b^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} - (\frac{1}{4})^{-3}$

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $(\frac{p}{q})^{-n} = (\frac{q}{p})^n$.

Применяем это свойство к каждому слагаемому:

$(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$

$(\frac{1}{4})^{-3} = (\frac{4}{1})^3 = 4^3 = 64$

Теперь находим разность полученных значений:

$8 - 64 = -56$

Ответ: -56

Выражение $(a - b)^{-3}$

Сначала выполним действие в скобках:

$a - b = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Теперь возводим полученный результат в степень -3:

$(a - b)^{-3} = (\frac{1}{4})^{-3}$

Используя то же свойство степени с отрицательным показателем:

$(\frac{1}{4})^{-3} = (\frac{4}{1})^3 = 4^3 = 64$

Ответ: 64

Сравнение значений

Мы получили следующие значения:

• $a^{-3} - b^{-3} = -56$
• $(a - b)^{-3} = 64$

Сравниваем полученные результаты:

$-56 < 64$

Таким образом, при заданных значениях $a$ и $b$ значение выражения $a^{-3} - b^{-3}$ меньше значения выражения $(a - b)^{-3}$.

Итоговый ответ: $a^{-3} - b^{-3} < (a - b)^{-3}$