Номер 3.237, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.237. Выполните замену переменной и решите уравнение $(x^2 + 2x)^2 - (x+1)^2 = 55.$

Исходное уравнение: $(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55$.

Для решения этого уравнения методом замены переменной, сначала преобразуем второе слагаемое, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x^2 + 2x)^2 - (x^2 + 2x + 1) = 55$

Как видно, в уравнении дважды встречается выражение $x^2 + 2x$. Это позволяет нам сделать замену переменной для упрощения уравнения.

Пусть $t = x^2 + 2x$.

Подставив $t$ в уравнение, получаем:

$t^2 - (t + 1) = 55$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду:

$t^2 - t - 1 = 55$

$t^2 - t - 56 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = 1$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -56$

Подбором находим корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -7$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти решения для $x$.

Случай 1: $t = 8$

Подставляем это значение в уравнение замены $x^2 + 2x = t$:

$x^2 + 2x = 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-8$. Следовательно, корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -4$

Случай 2: $t = -7$

Подставляем второе значение в уравнение замены $x^2 + 2x = t$:

$x^2 + 2x = -7$

$x^2 + 2x + 7 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения, чтобы проверить наличие действительных корней:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, найденные в первом случае.

Ответ: -4; 2.