Номер 4, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Определите направление ветвей и найдите координаты вершины параболы:

а) $y = 4x^2 - 8x + 1;

б) $y = -3(x + 6)^2 + 5;

в) $y = (x - 6)(x + 2);

г) $y = -5x^2 + 9.$

Для решения задачи необходимо определить направление ветвей параболы и найти координаты её вершины для каждой из заданных функций.

Направление ветвей параболы $y = ax^2 + bx + c$ зависит от знака старшего коэффициента $a$:

• Если $a > 0$, ветви направлены вверх.
• Если $a < 0$, ветви направлены вниз.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а $y_0$ вычисляется подстановкой $x_0$ в уравнение функции. Если функция задана в виде $y = a(x - h)^2 + k$, то вершина находится в точке $(h, k)$.

а) $y = 4x^2 - 8x + 1$

Это квадратичная функция в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 4$, $b = -8$, $c = 1$.

Направление ветвей:
Поскольку коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины:
Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Для нахождения ординаты $y_0$ подставим $x_0 = 1$ в уравнение параболы:

$y_0 = 4(1)^2 - 8(1) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$

Координаты вершины: $(1, -3)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(1, -3)$.

б) $y = -3(x + 6)^2 + 5$

Функция представлена в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -3$. Уравнение можно переписать как $y = -3(x - (-6))^2 + 5$, откуда $h = -6$ и $k = 5$.

Направление ветвей:
Коэффициент $a = -3 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины:
Для параболы, заданной в таком виде, координаты вершины равны $(h, k)$.

Координаты вершины: $(-6, 5)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-6, 5)$.

в) $y = (x - 6)(x + 2)$

Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$ путем раскрытия скобок:

$y = x^2 + 2x - 6x - 12 = 1x^2 - 4x - 12$

Здесь $a = 1$, $b = -4$, $c = -12$.

Направление ветвей:
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины:
Найдем абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Найдем ординату $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходное уравнение:

$y_0 = (2 - 6)(2 + 2) = (-4)(4) = -16$

Координаты вершины: $(2, -16)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(2, -16)$.

г) $y = -5x^2 + 9$

Это частный случай уравнения $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -5$, $b = 0$, $c = 9$.

Направление ветвей:
Коэффициент $a = -5 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины:
Найдем абсциссу вершины $x_0$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-5)} = 0$

Найдем ординату $y_0$, подставив $x_0 = 0$ в уравнение:

$y_0 = -5(0)^2 + 9 = 9$

Координаты вершины: $(0, 9)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(0, 9)$.