Номер 5, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Решите квадратное неравенство:

a) $x^2 - 11x + 10 \ge 0$;

б) $4x^2 + 9x + 2 < 0$;

в) $x^2 + x + 6 > 0$;

г) $x^2 - 8x + 16 \le 0$;

д) $3x^2 - x < 0$;

е) $4x^2 - 9 \ge 0$.

а) $x^2 - 11x + 10 \ge 0$

1. Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 11x + 10 = 0$.

Используем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{11 - 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10$

2. Графиком функции $y = x^2 - 11x + 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $a=1>0$). Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках $x=1$ и $x=10$.

3. Неравенство $x^2 - 11x + 10 \ge 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ox или выше неё. Это происходит на промежутках слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [10, \infty)$.

б) $4x^2 + 9x + 2 < 0$

1. Найдем корни уравнения $4x^2 + 9x + 2 = 0$.

$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$

$x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 \pm 7}{8}$

$x_1 = \frac{-9 - 7}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

$x_2 = \frac{-9 + 7}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

2. Ветви параболы $y = 4x^2 + 9x + 2$ направлены вверх ($a=4>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-2$ и $x=-1/4$.

3. Неравенство $4x^2 + 9x + 2 < 0$ выполняется, когда график функции находится строго ниже оси Ox, то есть между корнями.

Ответ: $x \in (-2, -\frac{1}{4})$.

в) $x^2 + x + 6 > 0$

1. Рассмотрим уравнение $x^2 + x + 6 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$

2. Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Ветви параболы $y = x^2 + x + 6$ направлены вверх ($a=1>0$). Это значит, что парабола полностью расположена в верхней полуплоскости и не пересекает ось Ox.

3. Следовательно, выражение $x^2 + x + 6$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$ (любое действительное число).

г) $x^2 - 8x + 16 \le 0$

1. Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$.

Неравенство можно переписать в виде $(x-4)^2 \le 0$.

2. Выражение в квадрате $(x-4)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-4)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$.

3. Таким образом, неравенство $(x-4)^2 \le 0$ может выполняться только в единственном случае, когда левая часть равна нулю: $(x-4)^2 = 0$.

Это достигается при $x-4=0$, то есть $x=4$.

Ответ: $x = 4$.

д) $3x^2 - x < 0$

1. Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки: $x(3x-1) < 0$.

2. Найдем корни уравнения $x(3x-1)=0$. Корнями являются $x_1=0$ и $x_2=1/3$.

3. Ветви параболы $y = 3x^2 - x$ направлены вверх ($a=3>0$). Неравенство выполняется, когда график функции находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{3})$.

е) $4x^2 - 9 \ge 0$

1. Решим уравнение $4x^2 - 9 = 0$. Это разность квадратов $(2x)^2 - 3^2 = 0$.

$(2x - 3)(2x + 3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -3/2$, $x_2 = 3/2$.

2. Ветви параболы $y = 4x^2 - 9$ направлены вверх ($a=4>0$).

3. Неравенство $4x^2 - 9 \ge 0$ выполняется, когда график функции находится на оси Ox или выше неё, то есть на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Решение: $x \le -3/2$ или $x \ge 3/2$. Представим неправильные дроби в виде смешанных чисел, выделив целую часть.

Ответ: $x \in (-\infty, -1\frac{1}{2}] \cup [1\frac{1}{2}, \infty)$.