Номер 6, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Постройте графики квадратичных функций $f(x) = (x - 4)^2 - 1$, $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$ и $h(x) = (x - 2)(x + 6)$. Для каждой из функций укажите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) наименьшее (наибольшее) значение функции;

г) уравнение оси симметрии параболы;

д) нули функции;

е) промежутки знакопостоянства функции;

ж) промежутки монотонности функции. Можно ли выполнить задания а) — ж) без построения графика?

Проанализируем каждую из трех квадратичных функций и найдем их свойства. Хотя построение графика является частью задания, все указанные свойства можно определить аналитически, без самого графика. Мы сначала найдем свойства, а затем опишем, как по ним построить график.

1. Функция $f(x) = (x - 4)^2 - 1$

Функция представлена в вершинной форме $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$. Отсюда сразу видны ключевые параметры: коэффициент $a = 1$, координаты вершины $(x_v; y_v) = (4; -1)$. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

а) область определения функции: Ответ: Областью определения любой квадратичной функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) множество значений функции: Ответ: Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Множество значений: $E(f) = [-1; +\infty)$.

в) наименьшее (наибольшее) значение функции: Ответ: Функция имеет наименьшее значение, равное ординате вершины: $y_{min} = -1$. Наибольшего значения не существует.

г) уравнение оси симметрии параболы: Ответ: Ось симметрии проходит через вершину параболы, ее уравнение: $x = 4$.

д) нули функции: Ответ: Решим уравнение $f(x) = 0$:
$(x - 4)^2 - 1 = 0$
$(x - 4)^2 = 1$
$x - 4 = 1$ или $x - 4 = -1$
$x_1 = 5$, $x_2 = 3$.
Нули функции: $x=3$ и $x=5$.

е) промежутки знакопостоянства: Ответ: Ветви параболы направлены вверх, она пересекает ось Ox в точках $x=3$ и $x=5$.
Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (3; 5)$.

ж) промежутки монотонности функции: Ответ: Вершина параболы находится в точке $x=4$.
Функция убывает на промежутке $(-\infty; 4]$.
Функция возрастает на промежутке $[4; +\infty)$.

Построение графика: Для построения графика отметим на координатной плоскости вершину $(4, -1)$, нули функции $(3, 0)$ и $(5, 0)$, а также точку пересечения с осью OY: $f(0) = (0-4)^2 - 1 = 15$, т.е. точку $(0, 15)$. Соединив эти точки плавной линией с учетом симметрии относительно прямой $x=4$, получим график параболы.

2. Функция $g(x) = -2x^2 + 8x - 6$

Функция представлена в стандартной форме $g(x) = ax^2 + bx + c$. Коэффициент $a = -2 < 0$, значит ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = 2$. $y_v = g(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$. Вершина находится в точке $(2; 2)$.

а) область определения функции: Ответ: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

б) множество значений функции: Ответ: Так как ветви направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Множество значений: $E(g) = (-\infty; 2]$.

в) наименьшее (наибольшее) значение функции: Ответ: Функция имеет наибольшее значение, равное ординате вершины: $y_{max} = 2$. Наименьшего значения не существует.

г) уравнение оси симметрии параболы: Ответ: Ось симметрии проходит через вершину: $x = 2$.

д) нули функции: Ответ: Решим уравнение $g(x) = 0$:
$-2x^2 + 8x - 6 = 0$ (разделим на -2)
$x^2 - 4x + 3 = 0$
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Нули функции: $x=1$ и $x=3$.

е) промежутки знакопостоянства: Ответ: Ветви параболы направлены вниз, нули в точках $x=1$ и $x=3$.
Функция положительна ($g(x) > 0$) при $x \in (1; 3)$.
Функция отрицательна ($g(x) < 0$) при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

ж) промежутки монотонности функции: Ответ: Вершина параболы находится в точке $x=2$.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$.
Функция убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

Построение графика: Отметим вершину $(2, 2)$, нули функции $(1, 0)$ и $(3, 0)$, точку пересечения с осью OY: $g(0) = -6$, т.е. точку $(0, -6)$. Соединим точки плавной кривой, учитывая, что ветви направлены вниз.

3. Функция $h(x) = (x - 2)(x + 6)$

Функция представлена в виде произведения, из которого сразу видны нули функции: $x=2$ и $x=-6$. Раскрыв скобки, получим стандартный вид: $h(x) = x^2 + 4x - 12$. Коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Абсцисса вершины находится посередине между нулями: $x_v = \frac{2 + (-6)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$. Ордината вершины: $y_v = h(-2) = (-2 - 2)(-2 + 6) = (-4)(4) = -16$. Вершина находится в точке $(-2; -16)$.

а) область определения функции: Ответ: $D(h) = (-\infty; +\infty)$.

б) множество значений функции: Ответ: Ветви направлены вверх, минимум в вершине. Множество значений: $E(h) = [-16; +\infty)$.

в) наименьшее (наибольшее) значение функции: Ответ: Наименьшее значение функции: $y_{min} = -16$. Наибольшего значения нет.

г) уравнение оси симметрии параболы: Ответ: Ось симметрии: $x = -2$.

д) нули функции: Ответ: Из вида $(x - 2)(x + 6) = 0$ сразу находим нули: $x_1 = 2$, $x_2 = -6$.

е) промежутки знакопостоянства: Ответ: Ветви параболы направлены вверх, нули в точках $x=-6$ и $x=2$.
Функция положительна ($h(x) > 0$) при $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.
Функция отрицательна ($h(x) < 0$) при $x \in (-6; 2)$.

ж) промежутки монотонности функции: Ответ: Вершина параболы в точке $x=-2$.
Функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.
Функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.

Построение графика: Отметим вершину $(-2, -16)$, нули функции $(-6, 0)$ и $(2, 0)$, точку пересечения с осью OY: $h(0) = -12$, т.е. точку $(0, -12)$. Соединим точки плавной кривой, учитывая, что ветви направлены вверх.

Можно ли выполнить задания а) — ж) без построения графика?

Ответ: Да, можно.
Все свойства квадратичной функции (пункты а-ж) могут быть определены аналитически, то есть с помощью вычислений по формуле, которой задана функция.

• Область определения для любой квадратичной функции — все действительные числа.
• Координаты вершины, направление ветвей и ось симметрии находятся по известным формулам из коэффициентов уравнения.
• Множество значений и наименьшее/наибольшее значение напрямую зависят от ординаты вершины и направления ветвей.
• Нули функции находятся решением квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.
• Промежутки знакопостоянства и монотонности определяются на основе положения вершины и нулей функции.

Построение графика является лишь визуализацией этих свойств, а не необходимым шагом для их нахождения.