Номер 8, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Решите совокупность неравенств:

a)$\left[\begin{array}{l}2x^2 - 11x - 6 < 0, \\x + 4 \le 0;\end{array}\right.$

б)$\left[\begin{array}{l}x^2 - 1 \le 0, \\x^2 - 3x > 0.\end{array}\right.$

a) Совокупность неравенств означает, что нам нужно найти объединение решений каждого из неравенств. Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $2x^2 - 11x - 6 < 0$.

Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 11x - 6 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$.
Графиком функции $y=2x^2 - 11x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$). Следовательно, значения функции меньше нуля (неравенство $ < 0$) на интервале между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\frac{1}{2}, 6)$.

2. Решим второе неравенство: $x + 4 \le 0$.

Это линейное неравенство. Перенесем 4 в правую часть, изменив знак:
$x \le -4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -4]$.

3. Объединим полученные решения.

Решением совокупности является объединение множеств решений обоих неравенств: $(-\infty, -4] \cup (-\frac{1}{2}, 6)$.
Данные интервалы не пересекаются, поэтому их объединение записывается в таком виде.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup (-\frac{1}{2}, 6)$.

б) Решим каждое неравенство данной совокупности и найдем объединение их решений.

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 1 \le 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1) \le 0$.
Корнями уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y=x^2-1$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in [-1, 1]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x > 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 3) > 0$.
Корнями уравнения $x(x - 3) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y=x^2-3x$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Неравенство $>0$ выполняется за пределами интервала между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

3. Объединим полученные решения.

Искомое решение — это объединение множеств $x \in [-1, 1]$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
Объединяя множество $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$ с отрезком $[-1, 1]$, мы получаем:
$((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) \cup [-1, 1] = (-\infty, 0) \cup [-1, 1] \cup (3, \infty)$.
Множество $(-\infty, 0) \cup [-1, 1]$ покрывает все числа от $-\infty$ до $1$ включительно, то есть является интервалом $(-\infty, 1]$.
Таким образом, итоговое решение совокупности: $x \in (-\infty, 1] \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup (3, \infty)$.