Номер 1, страница 214 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Участников парада планировали построить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24 человека. Однако оказалось, что не все прибывшие смогут участвовать в параде, и их перестроили так, что число рядов стало на 2 меньше, а число человек в ряду — на 26 больше нового числа рядов. Определите, сколько человек прибыло на парад, зная, что если бы все они участвовали, то их можно было бы перестроить так, чтобы число рядов было равно числу человек в ряду.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $r$ — это первоначально запланированное число рядов.
• В каждом ряду по условию должно было быть 24 человека.
• Тогда общее число людей, прибывших на парад, обозначим как $T$. Предполагается, что изначально планировали построить всех прибывших, поэтому $T = 24 \cdot r$.

Позже построение изменили, так как не все смогли участвовать в параде. Новые параметры построения для тех, кто участвовал:

• Новое число рядов: $r_{new} = r - 2$.
• Новое число человек в ряду: $p_{new} = r_{new} + 26 = (r - 2) + 26 = r + 24$.

Количество человек, которые в итоге участвовали в параде, равно $N = r_{new} \cdot p_{new} = (r - 2)(r + 24)$.

Так как в параде участвовали не все прибывшие, то число участников $N$ меньше общего числа прибывших $T$. Запишем это в виде неравенства:

$(r - 2)(r + 24) < 24r$

Раскроем скобки и решим неравенство:

$r^2 + 24r - 2r - 48 < 24r$

$r^2 + 22r - 48 < 24r$

$r^2 - 2r - 48 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $r^2 - 2r - 48 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения равны $r_1 = 8$ и $r_2 = -6$.

Так как парабола $y = r^2 - 2r - 48$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $-6 < r < 8$.

Поскольку $r$ — это число рядов, оно должно быть целым положительным числом. Кроме того, новое число рядов $r - 2$ также должно быть положительным, что означает $r > 2$.

Объединяя условия, получаем, что $r$ может принимать целые значения из интервала $(2, 8)$, то есть $r \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$.

Теперь используем последнее условие задачи: если бы все прибывшие ($T$ человек) участвовали в параде, их можно было бы построить так, чтобы число рядов было равно числу человек в ряду. Это означает, что общее число прибывших $T$ является полным квадратом некоторого натурального числа.

Мы знаем, что $T = 24r$. Следовательно, произведение $24r$ должно быть полным квадратом.

Разложим число 24 на простые множители: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1$.

Чтобы произведение $24r = (2^3 \cdot 3^1) \cdot r$ стало полным квадратом, каждый простой множитель в его разложении должен иметь четную степень. Это значит, что множитель $r$ должен "дополнить" степени 2 и 3 до четных. Минимальное значение для $r$ будет $r = 2^1 \cdot 3^1 = 6$. Следующие возможные значения для $r$ будут иметь вид $6 \cdot k^2$ (например, $6 \cdot 2^2 = 24$, $6 \cdot 3^2 = 54$ и т.д.).

Из всех возможных значений для $r$ нам нужно выбрать то, которое принадлежит множеству $\{3, 4, 5, 6, 7\}$. Этому условию удовлетворяет только $r=6$.

Теперь мы можем найти общее число человек, прибывших на парад:

$T = 24 \cdot r = 24 \cdot 6 = 144$.

Проверим: $144 = 12^2$, что является полным квадратом. Это соответствует условию задачи.

Определите, сколько человек прибыло на парад: Ответ: 144