Номер 2, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Известно, что график квадратичной функции $y = x^2 + px + q$ касается прямой $y = 2x + p$. Докажите, что все такие квадратичные функции имеют одно и то же наименьшее значение.

Условие касания графика квадратичной функции $y = x^2 + px + q$ и прямой $y = 2x + p$ означает, что уравнение, описывающее их точки пересечения, имеет ровно одно решение.

Приравняем выражения для $y$: $$x^2 + px + q = 2x + p$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$x^2 + px - 2x + q - p = 0$$ $$x^2 + (p - 2)x + (q - p) = 0$$

Для того чтобы это уравнение имело одно решение, его дискриминант $D$ должен быть равен нулю. В данном уравнении коэффициенты $a=1$, $b=p-2$, $c=q-p$. $$D = b^2 - 4ac = (p - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (q - p) = 0$$ Раскроем скобки и упростим: $$(p^2 - 4p + 4) - (4q - 4p) = 0$$ $$p^2 - 4p + 4 - 4q + 4p = 0$$ $$p^2 - 4q + 4 = 0$$ Это соотношение между параметрами $p$ и $q$, которое должно выполняться для касания.

Теперь найдем наименьшее значение квадратичной функции $y = x^2 + px + q$. Это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля), ее наименьшее значение достигается в вершине. Ордината вершины $y_v$ вычисляется по формуле: $$y_{min} = y_v = \frac{4ac - b^2}{4a}$$ Для функции $y = x^2 + px + q$ коэффициенты $a=1$, $b=p$, $c=q$. $$y_{min} = \frac{4 \cdot 1 \cdot q - p^2}{4 \cdot 1} = \frac{4q - p^2}{4}$$

Из найденного ранее условия касания $p^2 - 4q + 4 = 0$ выразим числитель $4q - p^2$: $$4 = 4q - p^2$$

Подставим это значение в формулу для наименьшего значения: $$y_{min} = \frac{4}{4} = 1$$

2. Так как наименьшее значение функции равно константе (1) и не зависит от выбора параметра $p$ (и связанного с ним $q$), то все такие квадратичные функции действительно имеют одно и то же наименьшее значение. Ответ: 1