Номер 1, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Участников парада планировали построить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24 человека. Однако оказалось, что не все прибывшие смогут участвовать в параде, и их перестроили так, что число рядов стало на 2 меньше, а число человек в ряду — на 26 больше нового числа рядов. Определите, сколько человек прибыло на парад, зная, что если бы все они участвовали, то их можно было бы перестроить так, чтобы число рядов было равно числу человек в ряду.

Для решения задачи введем следующие переменные:

• $A$ — общее количество человек, прибывших на парад.
• $P$ — количество человек, фактически принявших участие в параде.
• $r_1$ — первоначально планировавшееся количество рядов.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений и неравенств.

1. Изначально планировалось построить всех прибывших ($A$) в $r_1$ рядов по 24 человека в каждом. Таким образом, общее число прибывших:

$A = 24 \cdot r_1$

2. Позже участников перестроили. Новое количество рядов ($r_2$) стало на 2 меньше первоначального:

$r_2 = r_1 - 2$

А количество человек в новом ряду ($p_2$) стало на 26 больше нового числа рядов:

$p_2 = r_2 + 26 = (r_1 - 2) + 26 = r_1 + 24$

Общее число участников парада ($P$) равно произведению нового числа рядов на новое количество человек в ряду:

$P = r_2 \cdot p_2 = (r_1 - 2)(r_1 + 24)$

3. В условии сказано, что не все прибывшие смогли участвовать в параде. Это означает, что число участников $P$ не превышает числа прибывших $A$:

$P \le A$

Подставим полученные выражения для $P$ и $A$ в это неравенство:

$(r_1 - 2)(r_1 + 24) \le 24r_1$

Раскроем скобки и решим неравенство относительно $r_1$:

$r_1^2 + 24r_1 - 2r_1 - 48 \le 24r_1$

$r_1^2 + 22r_1 - 48 \le 24r_1$

$r_1^2 - 2r_1 - 48 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $r_1^2 - 2r_1 - 48 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$

$r_{1,1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 14}{2} = -6$

$r_{1,2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 14}{2} = 8$

Парабола $y = r_1^2 - 2r_1 - 48$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями: $-6 \le r_1 \le 8$.

4. Согласно последнему условию, если бы все прибывшие ($A$) участвовали, их можно было бы построить в виде квадрата (число рядов равно числу человек в ряду). Это означает, что число $A$ является полным квадратом.

$A = k^2$, где $k$ — целое число.

Из пункта 1 мы знаем, что $A = 24r_1$. Следовательно, $24r_1$ должно быть полным квадратом. Разложим число 24 на простые множители: $24 = 2^3 \cdot 3^1$.

Чтобы произведение $24r_1 = (2^3 \cdot 3^1) \cdot r_1$ было полным квадратом, все простые множители в его разложении должны иметь четную степень. Для этого $r_1$ должно содержать множители $2^1$ и $3^1$. Таким образом, минимальное значение $r_1$ должно быть кратно $2 \cdot 3 = 6$. В общем виде:

$r_1 = 6 \cdot m^2$, где $m$ — натуральное число ($m=1, 2, 3, ...$).

5. Теперь объединим все полученные ограничения на $r_1$:

• Из неравенства $P \le A$ мы получили: $r_1 \le 8$.
• Так как количество рядов должно быть положительным числом, $r_1 > 0$. Кроме того, новое число рядов $r_2 = r_1 - 2$ также должно быть положительным, что дает $r_1 > 2$.
• $r_1$ должно иметь вид $6m^2$.

Итак, мы ищем целое число $r_1$ в интервале $2 < r_1 \le 8$, которое можно представить в виде $6m^2$.

Проверим возможные значения $m$:

• При $m = 1$, $r_1 = 6 \cdot 1^2 = 6$. Это значение удовлетворяет условию $2 < 6 \le 8$.
• При $m = 2$, $r_1 = 6 \cdot 2^2 = 24$. Это значение не попадает в интервал $2 < r_1 \le 8$.

Единственным возможным значением является $r_1 = 6$.

Наконец, определим, сколько человек прибыло на парад, подставив $r_1=6$ в первую формулу:

$A = 24 \cdot r_1 = 24 \cdot 6 = 144$

Ответ: 144