Номер 2, страница 214 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Известно, что график квадратичной функции $y = x^2 + px + q$ касается прямой $y = 2x + p$. Докажите, что все такие квадратичные функции имеют одно и то же наименьшее значение.

Чтобы доказать, что все квадратичные функции вида $y = x^2 + px + q$, касающиеся прямой $y = 2x + p$, имеют одно и то же наименьшее значение, мы должны найти это значение и показать, что оно не зависит от параметра $p$.

Условие касания графика параболы и прямой заключается в том, что уравнение, описывающее их точки пересечения, имеет ровно один действительный корень. Приравняем выражения для $y$: $$ x^2 + px + q = 2x + p $$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + (p - 2)x + (q - p) = 0 $$ Единственный корень существует тогда и только тогда, когда дискриминант ($D$) этого уравнения равен нулю. Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1, b=p-2, c=q-p$. $$ D = (p - 2)^2 - 4(1)(q - p) = 0 $$ Раскроем скобки и упростим: $$ p^2 - 4p + 4 - 4q + 4p = 0 $$ $$ p^2 + 4 - 4q = 0 $$ Из этого условия мы находим обязательную связь между параметрами $p$ и $q$: $$ q = \frac{p^2 + 4}{4} $$

Теперь найдем наименьшее значение квадратичной функции $y = x^2 + px + q$. Так как это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1), ее наименьшее значение находится в вершине. Абсцисса вершины $x_v$ вычисляется по формуле: $$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{p}{2(1)} = -\frac{p}{2} $$ Наименьшее значение $y_{min}$ — это значение функции в этой точке (ордината вершины): $$ y_{min} = y(x_v) = \left(-\frac{p}{2}\right)^2 + p\left(-\frac{p}{2}\right) + q $$ $$ y_{min} = \frac{p^2}{4} - \frac{p^2}{2} + q = -\frac{p^2}{4} + q $$

Наконец, подставим выражение для $q$, полученное из условия касания, в формулу для $y_{min}$: $$ y_{min} = -\frac{p^2}{4} + \left(\frac{p^2 + 4}{4}\right) $$ $$ y_{min} = \frac{-p^2 + p^2 + 4}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ Результат, $y_{min} = 1$, является константой и не зависит от параметра $p$. Это доказывает, что все такие квадратичные функции имеют одно и то же наименьшее значение.

Ответ: 1.