Номер 1, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Если периметр прямоугольного участка земли равен 100 м, то какова его наибольшая площадь?

Чтобы найти наибольшую площадь прямоугольного участка при заданном периметре, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить зависимость между сторонами.

   Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр $P$ прямоугольника вычисляется по формуле:
   $P = 2(a + b)$
   По условию задачи, периметр равен 100 м:
   $100 = 2(a + b)$
   Разделив обе части на 2, получим сумму сторон:
   $a + b = 50$

2. Выразить площадь через одну переменную.

   Площадь $S$ прямоугольника вычисляется по формуле:
   $S = a \times b$
   Из первого шага выразим одну сторону через другую, например, $b = 50 - a$.
   Подставим это выражение в формулу площади:
   $S(a) = a \times (50 - a) = 50a - a^2$

3. Найти максимальное значение площади.

   Функция $S(a) = -a^2 + 50a$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $a^2$ отрицательный). Своего максимального значения такая функция достигает в вершине параболы.

   Координата вершины параболы $y = kx^2 + mx + n$ находится по формуле $x_0 = -m / (2k)$.
   В нашем случае $k = -1$, $m = 50$. Найдем значение стороны $a$, при котором площадь будет максимальной:
   $a = -50 / (2 \times -1) = -50 / -2 = 25$ м.
   Теперь найдем вторую сторону:
   $b = 50 - a = 50 - 25 = 25$ м.

   Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является квадратом.

4. Вычислить наибольшую площадь.

   Подставим найденные значения сторон в формулу площади:
   $S_{max} = 25 \text{ м} \times 25 \text{ м} = 625 \text{ м}^2$.

1. Наибольшая площадь прямоугольного участка земли при периметре 100 м составляет 625 м². Ответ: 625