Номер 7, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Решите систему квадратных неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 9x - 10 < 0, \\ 6x - x^2 \le 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - x - 12 > 0, \\ x^2 + 3x - 10 \le 0. \end{cases}$

Для решения системы квадратных неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

а) Решим систему: $$ \begin{cases} x^2 - 9x - 10 < 0 \\ 6x - x^2 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 9x - 10 < 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9x - 10 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{9 - 11}{2} = -1$
$x_2 = \frac{9 + 11}{2} = 10$
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы $y = x^2 - 9x - 10$ направлены вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-1, 10)$.

2. Решим второе неравенство: $6x - x^2 \le 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 6x \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x = 0$, разложив его на множители:
$x(x - 6) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.
Ветви параболы $y = x^2 - 6x$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $y \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни. Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [6, +\infty)$.

3. Найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств.
Решение первого: $(-1, 10)$.
Решение второго: $(-\infty, 0] \cup [6, +\infty)$.
На числовой оси находим общие интервалы: - Пересечение $(-1, 10)$ с $(-\infty, 0]$ дает интервал $(-1, 0]$. - Пересечение $(-1, 10)$ с $[6, +\infty)$ дает интервал $[6, 10)$.
Объединив эти два интервала, получаем окончательное решение системы.

б) Решим систему: $$ \begin{cases} x^2 - x - 12 > 0 \\ x^2 + 3x - 10 \le 0 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - x - 12 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3$
$x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$
Ветви параболы $y = x^2 - x - 12$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $y > 0$ выполняется вне интервала между корнями. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 10 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$
Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 10$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни. Решение второго неравенства: $x \in [-5, 2]$.

3. Найдем пересечение решений.
Решение первого: $(-\infty, -3) \cup (4, +\infty)$.
Решение второго: $[-5, 2]$.
На числовой оси находим общие интервалы: - Пересечение $(-\infty, -3)$ с $[-5, 2]$ дает интервал $[-5, -3)$. - Пересечение $(4, +\infty)$ с $[-5, 2]$ является пустым множеством, так как у них нет общих точек.
Следовательно, решение системы - это первый найденный интервал.