Номер 10, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите значения числа t, при которых уравнение:

a) $2x^2 - tx + 8 = 0$ имеет два корня;

б) $5x^2 + tx + 3 = 0$ не имеет корней.

Для определения количества корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется дискриминант, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) Чтобы уравнение $2x^2 - tx + 8 = 0$ имело два корня, его дискриминант должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -t$, $c = 8$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-t)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = t^2 - 64$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$t^2 - 64 > 0$

$t^2 > 64$

Это неравенство выполняется, когда модуль $t$ больше 8, то есть при $t < -8$ или $t > 8$.

Ответ: $t \in (-\infty; -8) \cup (8; +\infty)$.

б) Чтобы уравнение $5x^2 + tx + 3 = 0$ не имело корней, его дискриминант должен быть строго меньше нуля ($D < 0$).

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = t$, $c = 3$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = t^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = t^2 - 60$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$t^2 - 60 < 0$

$t^2 < 60$

Решением этого неравенства является интервал $-\sqrt{60} < t < \sqrt{60}$.

Упростим значение корня: $\sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.

Таким образом, $t$ должно находиться в интервале $(-2\sqrt{15}; 2\sqrt{15})$.

Ответ: $t \in (-2\sqrt{15}; 2\sqrt{15})$.