Номер 4, страница 213 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Во время учений исследуется запуск ракеты в воду. С помощью камеры отмечается высота $h$, на которой находится ракета в зависимости от времени $t$ (рис. 90). Предполагается, что зависимость высоты $h$ от времени $t$ задается уравнением $h(t) = -\frac{1}{2}g(t-\alpha)^2 + \beta$, где $g$ — ускорение свободного падения, модуль которого можно считать равным $10 \frac{\text{М}}{\text{с}^2}$.

а) На какой высоте находится ракета через 1 с? Через 3 с?

б) Найдите $h$ в верхней точке траектории.

в) Найдите значения $\alpha$ и $\beta$.

г) Какая функция вида $h(t) = at + b$ может моделировать движение для $t > 3$ с?

Рис. 90

Для решения задачи воспользуемся данными из условия и графиком.

Уравнение движения ракеты: $h(t) = -\frac{1}{2}g(t-\alpha)^2 + \beta$.

Ускорение свободного падения: $g = 10 \, \frac{м}{с^2}$.

Подставим значение $g$ в уравнение:

$h(t) = -\frac{1}{2} \cdot 10(t-\alpha)^2 + \beta = -5(t-\alpha)^2 + \beta$.

а) На какой высоте находится ракета через 1 с? Через 3 с?

Чтобы определить высоту в заданные моменты времени, посмотрим на предоставленный график.

• При $t = 1$ с, находим на горизонтальной оси значение 1 и поднимаем перпендикуляр до пересечения с графиком. Соответствующее значение на вертикальной оси высот $h$ равно 15 м.
• При $t = 3$ с, поступаем аналогично. Находим на горизонтальной оси значение 3, поднимаемся до графика и видим, что соответствующая высота $h$ также равна 15 м. Это логично, так как парабола симметрична относительно своей вершины.

Ответ: через 1 с ракета находится на высоте 15 м, через 3 с — также на высоте 15 м.

б) Найдите h в верхней точке траектории.

Верхняя точка траектории соответствует максимуму функции $h(t)$, что на графике является вершиной параболы. По графику видно, что самая высокая точка достигается при $t=2$ с, и высота в этой точке составляет 20 м.

Ответ: 20 м.

в) Найдите значения α и β.

Уравнение $h(t) = -5(t-\alpha)^2 + \beta$ — это уравнение параболы в стандартной форме с вершиной в точке $(\alpha, \beta)$.

• $\alpha$ — это координата вершины по оси времени $t$. Из пункта б) мы знаем, что максимальная высота достигается при $t = 2$ с. Следовательно, $\alpha = 2$.
• $\beta$ — это координата вершины по оси высоты $h$, то есть максимальная высота. Из пункта б) мы знаем, что она равна 20 м. Следовательно, $\beta = 20$.

Проверим, подставив найденные значения и одну из точек (например, (1, 15)) в уравнение:

$h(1) = -5(1-2)^2 + 20 = -5(-1)^2 + 20 = -5 \cdot 1 + 20 = 15$.

Значение совпадает с данными графика, значит, параметры найдены верно.

Ответ: $\alpha = 2$, $\beta = 20$.

г) Какая функция вида h(t) = dt + b может моделировать движение для t > 3 с?

Предполагается, что для $t > 3$ с движение можно описать линейной функцией. Для нахождения параметров $d$ и $b$ этой функции $h(t) = dt + b$ воспользуемся двумя точками на траектории в этой области. Возьмем точки, соответствующие моментам времени $t_1 = 3$ с и $t_2 = 3,5$ с.

Из графика и предыдущих расчетов мы знаем, что при $t_1 = 3$ с, высота $h_1 = 15$ м.

Найдем точную высоту при $t_2 = 3,5$ с, используя полное уравнение движения $h(t) = -5(t-2)^2 + 20$:

$h_2 = h(3,5) = -5(3,5 - 2)^2 + 20 = -5(1,5)^2 + 20 = -5 \cdot 2,25 + 20 = -11,25 + 20 = 8,75$ м.

Теперь у нас есть две точки $(3; 15)$ и $(3,5; 8,75)$, через которые проходит искомая прямая.

Найдем коэффициент наклона (скорость) $d$:

$d = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{h_2 - h_1}{t_2 - t_1} = \frac{8,75 - 15}{3,5 - 3} = \frac{-6,25}{0,5} = -12,5$.

Теперь найдем коэффициент $b$, подставив в уравнение $h = dt + b$ координаты одной из точек (например, $(3; 15)$) и найденное значение $d$:

$15 = (-12,5) \cdot 3 + b$

$15 = -37,5 + b$

$b = 15 + 37,5 = 52,5$.

Таким образом, искомая функция: $h(t) = -12,5t + 52,5$.

Представим коэффициенты в виде неправильных и смешанных дробей:

$d = -12,5 = -\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2}$

$b = 52,5 = \frac{105}{2} = 52\frac{1}{2}$

Ответ: искомая функция $h(t) = -12,5t + 52,5$. Параметры: $d = -12\frac{1}{2}$, $b = 52\frac{1}{2}$.