Номер 3.234, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.234. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) $x^2 + 7x - 18$;

б) $5x^2 - 14x - 3$;

в) $-25x^2 + 10x - 1$.

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

а) $x^2 + 7x - 18$

1. Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 + 7x - 18 = 0$.

2. В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 7$, $c = -18$.

3. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

4. Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

5. Подставим найденные корни в формулу разложения:

$x^2 + 7x - 18 = 1 \cdot (x - (-9))(x - 2) = (x + 9)(x - 2)$.

Ответ: $(x + 9)(x - 2)$.

б) $5x^2 - 14x - 3$

1. Найдем корни уравнения $5x^2 - 14x - 3 = 0$.

2. Коэффициенты: $a = 5$, $b = -14$, $c = -3$.

3. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

4. Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$.

5. Подставим коэффициент $a=5$ и найденные корни в формулу разложения:

$5x^2 - 14x - 3 = 5(x - (-\frac{1}{5}))(x - 3) = 5(x + \frac{1}{5})(x - 3)$.

6. Для получения более простого вида, умножим множитель 5 на скобку $(x + \frac{1}{5})$:

$5(x + \frac{1}{5}) = 5 \cdot x + 5 \cdot \frac{1}{5} = 5x + 1$.

Таким образом, разложение имеет вид: $(5x + 1)(x - 3)$.

Ответ: $(5x + 1)(x - 3)$.

в) $-25x^2 + 10x - 1$

1. Для удобства вынесем знак минус за скобки:

$-25x^2 + 10x - 1 = -(25x^2 - 10x + 1)$.

2. Выражение в скобках $25x^2 - 10x + 1$ является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 5x$ и $b = 1$:

$25x^2 - 10x + 1 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2 = (5x - 1)^2$.

3. Таким образом, исходный трехчлен раскладывается на множители:

$-25x^2 + 10x - 1 = -(5x - 1)^2$.

Также можно решить через дискриминант:

1. Найдем корни уравнения $-25x^2 + 10x - 1 = 0$.

2. $a = -25$, $b = 10$, $c = -1$.

$D = 10^2 - 4 \cdot (-25) \cdot (-1) = 100 - 100 = 0$.

3. Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень:

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2 \cdot (-25)} = \frac{-10}{-50} = \frac{1}{5}$.

4. Подставляем в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2) = a(x-x_1)^2$:

$-25(x - \frac{1}{5})^2 = -25(x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{25}) = -25x^2 + 10x - 1$.

Преобразуем $-25(x - \frac{1}{5})^2$ к более простому виду:

$-25(x - \frac{1}{5})^2 = -(5^2 \cdot (x - \frac{1}{5})^2) = -((5(x - \frac{1}{5}))^2) = -(5x - 1)^2$.

Ответ: $-(5x - 1)^2$.