Номер 3.231, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.231. Решите совокупность неравенств:

a) $ \begin{cases} 4x^2 + 5x - 6 < 0, \\ x + 2 \leq 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 - 36 \leq 0, \\ 5 - 2x > 0. \end{cases} $

а) Для решения совокупности неравенств необходимо найти объединение множеств решений каждого из неравенств.

1. Решим первое неравенство: $4x^2 + 5x - 6 < 0$.

Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $4x^2 + 5x - 6 = 0$, используя формулу корней квадратного уравнения.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 11}{8} = \frac{-16}{8} = -2$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Графиком функции $y = 4x^2 + 5x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен: $4 > 0$). Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-2, \frac{3}{4})$.

2. Решим второе неравенство: $x + 2 \le 0$.

Это линейное неравенство. Перенесем 2 в правую часть:

$x \le -2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2]$.

3. Объединим решения.

Решением совокупности является объединение решений первого и второго неравенств:

$$(-\infty, -2] \cup (-2, \frac{3}{4})$$

Объединение этих двух множеств дает промежуток от $-\infty$ до $\frac{3}{4}$, не включая саму точку $\frac{3}{4}$.

Ответ: $(-\infty, \frac{3}{4})$.

б) Для решения совокупности неравенств необходимо найти объединение множеств решений каждого из неравенств.

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 36 \le 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 6)(x + 6) \le 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 6) = 0$ равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 36$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-6, 6]$.

2. Решим второе неравенство: $5 - 2x > 0$.

Это линейное неравенство. Перенесем $-2x$ в правую часть:

$5 > 2x$

Разделим обе части на 2:

$\frac{5}{2} > x$, или $x < \frac{5}{2}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби: $x < 2\frac{1}{2}$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 2\frac{1}{2})$.

3. Объединим решения.

Решением совокупности является объединение решений первого и второго неравенств:

$$[-6, 6] \cup (-\infty, 2\frac{1}{2})$$

Множество $[-6, 6]$ включает все числа от -6 до 6. Множество $(-\infty, 2\frac{1}{2})$ включает все числа меньше $2\frac{1}{2}$. Поскольку второе множество содержит числа от $-\infty$ до $-6$, а первое — от $-6$ до $6$, их объединение покрывает весь промежуток от $-\infty$ до $6$ включительно.

Ответ: $(-\infty, 6]$.