Номер 3.227, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.227. Решите двойное неравенство, заменив его системой неравенств:

a) $0 < x^2 - 6x \le 7;$

б) $x + 2 < x^2 \le 16.$

а) Заменим двойное неравенство $0 < x^2 - 6x \leq 7$ системой двух неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 6x > 0 \\ x^2 - 6x \leq 7 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x > 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x = 0$. Разложив на множители, получим $x(x - 6) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 6x \leq 7$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 6x - 7 \leq 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$, $x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны при $x$ на отрезке между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [-1; 7]$.

3. Найдем пересечение решений системы.

Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$ и $[-1; 7]$.

Пересечение $(-\infty; 0)$ с $[-1; 7]$ дает $[-1; 0)$.

Пересечение $(6; +\infty)$ с $[-1; 7]$ дает $(6; 7]$.

Объединив эти результаты, получим общее решение системы.

Ответ: $x \in [-1; 0) \cup (6; 7]$.

б) Заменим двойное неравенство $x + 2 < x^2 \leq 16$ системой двух неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 > x + 2 \\ x^2 \leq 16 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 > x + 2$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - x - 2 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$

$x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$, $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 \leq 16$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 16 \leq 0$.

Разложим на множители: $(x - 4)(x + 4) \leq 0$.

Корни уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 16$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны при $x$ на отрезке между корнями.

Решение второго неравенства: $x \in [-4; 4]$.

3. Найдем пересечение решений системы.

Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$ и $[-4; 4]$.

Пересечение $(-\infty; -1)$ с $[-4; 4]$ дает $[-4; -1)$.

Пересечение $(2; +\infty)$ с $[-4; 4]$ дает $(2; 4]$.

Объединив эти результаты, получим общее решение.

Ответ: $x \in [-4; -1) \cup (2; 4]$.